2、非线性动力学时间序列分析：理论与实践

非线性动力学时间序列分析：理论与实践

在非线性动力学的研究中，我们常常需要处理复杂的系统和数据。本文将介绍非线性动力学时间序列分析的相关理论和方法，包括吸引子、李雅普诺夫指数、分形维数、格拉斯伯格 - 普罗卡西亚算法以及时间序列分析等内容。

1. 动力学系统理论基础

在动力学系统中，有几个重要的概念需要了解，如 $\omega$-极限点、吸引集和吸引子。
- $\omega$-极限点 ：对于一个初始点 $f_0 \in R^n$ 和时间 $t \in R$，通过流映射到解 $x(t)$。$\omega$-极限点是相空间中的一个点，满足特定条件。
- 吸引集 ：是一个 $\omega$-极限集，所有从初始点集 $X_0$ 邻域出发的轨道，随着 $t \to +\infty$ 都会趋向于该集合。
- 吸引子 ：是包含稠密轨道的吸引集。系统必须是耗散的才能有吸引子，因为在耗散系统中，相空间体积元会随时间收缩，所以吸引子在相空间中占据的体积为零。例如，极限环吸引子就是一种周期性吸引子，而奇怪吸引子是非周期性的，具有以下两个额外特性：
1. 相空间中通过吸引子上所有点的路径平均以指数速率发散。
2. 吸引子所包含的点集的维数不是整数。

2. 李雅普诺夫指数

李雅普诺夫指数用于量化相空间中相邻轨迹的平均指数分离。相空间中初始相邻轨迹的指数发散，再加上轨迹的折叠（以确保解保持有限），是产生确定性随机性和不可预测性的通用机制。在有界动力系统中，几乎所有初始条件下存在正的李雅普诺夫指数，是确定性混沌的广泛定义。