50、自动机与布尔代数相关问题研究

自动机与布尔代数相关问题研究

一、正交分离与非永极小问题

1.1 正交分离问题复杂度

正交分离（ORTHOGONAL - SEPARATING）问题在特定条件下的复杂度情况如下：
- 若引理 2 中的图是二分图，或者将其限制在等价关系最多有一个非平凡等价类的情况，正交分离问题属于 P 类。
- 然而，当满足以下条件时，正交分离问题是 NP 完全的：
- 正交族 (R) 中每个等价关系 (\sigma \in R) 最多有两个非单元素类，且这些非单元素类恰好有两个元素。
- 正交族 (R) 中每个等价关系 (\sigma \in R) 恰好有一个非单元素类，且这个非单元素类最多有三个元素。

1.2 构建具有特定性质的 DFA

给定一个正交的等价关系族 (R = {\sigma_1, \ldots, \sigma_m}) 在集合 (Q) 上，存在一个强连通的确定性有限自动机（DFA） (A_R = \langle Q, \Sigma, \delta \rangle)，满足 (M(A_R) = R)，其中 (|\Sigma| \leq 3\sum_{\sigma \in R}|Q / \sigma| + \binom{|Q|}{2} - |E|)，这里 (G = G(\cup_{\sigma \in R}\sigma)) 且 (G = (Q, E))。构建步骤如下：
1. 对于每个 (\sigma \in R)，假设 (Q / \sigma) 中有 ([q_0] {\sigma}, \ldots, [q {t - 1}] {\sigma}) 为非单元素类，([q_t]