64、正则ω - 语言的布尔代数解读

正则ω - 语言的布尔代数解读

1. 正则非周期ω - 语言基础

正则非周期ω - 语言是满足特定条件的语言集合。若语言 $L$ 能被无计数器的穆勒接受器识别，且满足相关条件，就称其为正则非周期ω - 语言。正则非周期ω - 语言 $L$ 的非周期性指数是满足特定条件的最小数 $n$。正则非周期ω - 语言类 $A_{\Sigma,\omega}$ 在布尔运算下是封闭的。对于 $\leq\omega$ - 语言 $L \subseteq\Sigma^{\leq\omega}$，当且仅当 $L \cap\Sigma^*$ 是正则（或正则非周期）语言，且 $L \cap\Sigma^{\omega}$ 是正则（或正则非周期）ω - 语言时，$L$ 是正则（或正则非周期）的。这直接得出 $R_{\Sigma,\leq\omega} \simeq R_{\Sigma} \times R_{\Sigma,\omega}$ 和 $A_{\Sigma,\leq\omega} \simeq A_{\Sigma} \times A_{\Sigma,\omega}$。

2. 布尔代数 $R_{\Sigma,\omega}$

• 穆勒自动机与语言基数 ：为了刻画穆勒自动机 $(M, F)$ 对应的集合 $L_{\omega}(M, F)$ 的基数，引入了分支的概念。若自动机 $M$ 的布基宏状态 $F$ 中存在至少两个由不可比较的单词标记的不同循环，则称 $F$ 是分支的。
  • 命题 6 ：若 $F$ 是分支的，则 $|L_{\omega}(M, {F})| = 2^{\omega}$