51、正则语言布尔代数与Fife定理的新证明

正则语言布尔代数与Fife定理的新证明

1. 正则语言布尔代数相关基础概念

在正则语言的研究中，有几个重要的概念和命题。首先，对于稀疏语言 (L = L_A \in R_{\Sigma}) 以及任意 (u \in L)，若路径 ((q_0, u)) 遇到自动机 (A) 的一个强连通分量（SCC），则存在 (G \in C_A) 使得 ([G] = {G})，且 (G = Q(s, v)) 对应自动机的某个简单循环。

此外，还涉及到无计数器确定有限自动机（DFA）的概念。若对于所有 (q \in Q)、非空单词 (u \in \Sigma^ ) 以及 (n > 0)，当 (q \cdot u^n = q) 能推出 (q \cdot u = q) 时，称该 DFA (A) 为无计数器的。对于任意 (L \in R_{\Sigma})，存在以下等价条件：
- 存在 (n < \omega)，使得对于所有 (x, y, z \in \Sigma^ )，(xy^nz \in L) 当且仅当 (xy^{n + 1}z \in L)。
- (L) 的最小 DFA 是无计数器的。

满足这些条件的语言被称为非周期语言，非周期语言 (L) 的非周期性指数是满足上述第一个条件的最小数 (n)。非周期语言类 (A_{\Sigma}) 在布尔运算下是封闭的。

2. 布尔代数 (R_{\Sigma}) 的性质

• 原子性与结构特征 ：对于任意字母表 (\Sigma)，(R_{\Sigma}) 是一个具有无限多个原子的原子布尔代数（BA），而 (R’ {\