15、自动机电路表示的复杂度研究与有限自动机的干扰解耦

自动机电路表示的复杂度研究与有限自动机的干扰解耦

1. 电路复杂度相关系数差异及一元语言情况

在研究中发现，系数 (k - 1) 和 (k) 的差异源于对 (|N_{k}^{s}|) 的估计。在定理相关内容里，上下界能看到相同的因子 (k) 和 (k - 1)。若能改进定理 1 的下界，那么定理 6 的下界也会自动得到改进。

分母中的因子 2 来自于构建 (k_{s}) 个析取式 (q_{j}) 的转换电路。为简化问题，假设 (k = 1)，设 (f : {0, 1}^{s} \to {0, 1}^{s}) 是一个函数，其中 (x_{i}) 和 (y_{i}) 分别是输入和输出布尔变量，且每个输出变量是一些输入变量的析取：(y_{i} = x_{i1} \vee x_{i2} \vee \cdots \vee x_{ik})。

对于这类函数，已知的电路复杂度上下界相差两倍。根据定理 5 可构建出 ( \frac{s^{2}}{\log s}) 个门的上界，通过计数论证可得到 ( \frac{s^{2}}{2\log s}) 的下界。这个问题看似简单，实则困难，例如，有些函数 (f) 的最小电路除了或门还包含与门。

对于一元语言，能得到的最佳下界与确定性情况相同，根据定理 5 的上界可知，对于几乎所有 (L \in N_{1}^{s})，有 ( \frac{s}{\log s} < CBC(L) \lesssim \frac{s^{2}}{\log s})。这两个公式的差异是一个因子 (s)，不能仅用定理 1 上下界的差异来解释，或许可以比定理 5 更有效地创建一元 NFA 的电路表示，但这需要进一步研究。

2. 自动机问题在电路表示