40、双向转换器相关判定问题研究

双向转换器相关判定问题研究

1. 引言

在自动机理论和形式语言的研究中，判定问题一直是一个核心的研究方向。对于各种类型的自动机，如计数器自动机、下推自动机等，判断其接受语言的某些性质（如语言是否为空）是否可判定，是理解这些自动机能力和限制的关键。本文将围绕双向转换器相关的判定问题展开，介绍一些重要的定理和结论，并探讨它们之间的关系。

2. 基本概念与定理

2.1 有限交叉 2NCM 与 1NPCM

从定理 2 可知，可以从有限交叉 2NCM (M_1) 构造出一个 1NCM (M_1’)，使得 (L(M_1’) = L(M_1))。然后构造一个 1NPCM (M)，它在给定输入时并行模拟 (M_1’) 和 (M_2)。此时，(L(M_1) \cap L(M_2) = \varnothing) 当且仅当 (L(M) = \varnothing)，而 (L(M) = \varnothing) 的判定可由定理 1 得出。

2.2 3 阶段有限交叉 2NPCM

定义一个 3 阶段有限交叉 2NPCM (M)，它的操作分为三个阶段：
- 第一阶段：(M) 作为有限交叉 2NCM 运行，不使用栈。
- 第二阶段：以第一阶段结束时的配置（状态、输入头位置和计数器值）为起点，(M) 作为 1NPCM 运行，输入头只能向右移动。
- 第三阶段：以第二阶段结束时的配置（状态、头位置、计数器值，但不包括栈）为起点，(M) 再次作为有限交叉 2NCM 运行，不使用栈。

需要注意的是，并非所有阶段都必须存在，例如 (M) 可以仅通过第一阶段接受输入，或者仅通过第一和第二阶段接受输入。