16、理想语言与封闭语言的句法复杂度

理想语言与封闭语言的句法复杂度

1. 预备知识

在形式语言理论中，我们首先需要明确一些基本概念。
- 字母表与语言 ：若 $\Sigma$ 是一个非空有限字母表，那么 $\Sigma^ $ 是由 $\Sigma$ 生成的自由幺半群，$\Sigma^+$ 是由 $\Sigma$ 生成的自由半群。一个单词是 $\Sigma^ $ 中的任意元素，空单词记为 $\varepsilon$。$\Sigma$ 上的语言是 $\Sigma^ $ 的任意子集。
- 前缀、后缀与因子 ：若 $w = uxv$，其中 $u, v, x \in \Sigma^ $，则 $u$ 是 $w$ 的前缀，$v$ 是 $w$ 的后缀，$x$ 是 $w$ 的因子。若语言 $L$ 满足：若 $w \in L$ 则 $w$ 的每个前缀也在 $L$ 中，那么 $L$ 是前缀封闭的。类似地，我们可以定义后缀封闭和因子封闭的语言。
- 理想语言 ：语言 $L \subseteq \Sigma^ $ 若满足 $L = L\Sigma^ $，则为右理想；若满足 $L = \Sigma^ L$，则为左理想；若满足 $L = \Sigma^ L\Sigma^ $，则为双边理想。这三种类型的语言统称为理想语言。
- 变换与置换 ：集合 $Q$ 的变换是将 $Q$ 映射到自身的映射，而 $Q$ 的置换是将 $Q$ 满射到自身的映射。在本文中，我们考虑有限集合 $Q = {0, 1