34、严格分段语言的代数特征解读

严格分段语言的代数特征解读

1. 严格分段语言的特性引入

严格分段（Strictly Piecewise，SP）语言有着独特的性质。以语言 (L = C(aa)) 为例，它表示除包含因子 (aa) 的所有单词。再如 (L = SI(bb) \cap SI(ca))，即禁止子序列 (bb) 和 (ca) 出现的语言。这些 SP 语言具有两个额外的重要性质，且非 SP 语言不会同时具备这两个性质。

2. 重要概念定义

• 完全非零语言（Wholly Nonzero） ：设 (L) 是由有限状态自动机（FSA）识别的正则语言，考虑其特征半群。语言 (L) 是完全非零的，当且仅当 (L = [0])。也就是说，不在该语言中的每个单词都在特征半群的零块中。从变换半群角度看，不在语言中的每个单词 (x) 都为零，即 (f_x = 0)。
• 定理 ：语言 (L) 是完全非零的，当且仅当 (L) 对前缀和后缀封闭。
  • 证明思路 ：
    • 首先，显然 ([0] \subseteq L)。假设 (L) 对前缀和后缀封闭，考虑任意 (x \notin L)，假设 (f_x \neq 0)，在 (L) 的规范接受器 (A) 中，存在状态 (q) 和 (q’) 使得 (x) 将 (q) 转换为 (q’)。由于 (A) 是规范的，存在字符串 (w) 和 (y) 使得 (w) 将初始状态 (q_0) 转换为 (q)，(y) 将 (q’) 转换为最终状态，那么 (wxy \in L)。因为 (L) 对