稀疏矩阵乘法非零个数的期望

问题

n*n的稀疏矩阵，平均每行每列都有m个非0的数，n>>m。如果A和B都是上述类型矩阵，那么C=A@B ，C平均每行有多少个非0的数据？

思路

1. A的第i行平均有m个非零元素，对应列位置k1, k2, …, km。
2. 对于每个k，B的第k行平均有m个非零元素，分布在n列中，因此每个位置$B_{kj}$非零的概率为$\frac{m}{n}$。 对于每个j，$C_{ij}$非零的概率为1 - $(1-\frac{m}{n}{)}^m$，即在m个k中存在至少一个k使得$A_{ik}$和$B_{kj}$都不为零的概率。
3. $1-(1-\frac{m}{n}{)}^m$用二项公式近似展开是$\frac{m^2}{n}$，$C_{ij}$非零的概率为$\frac{m^2}{n}$，那么整体一行非零个数的期望就是$m^2$

易混淆点

1. A的第i行平均有m个非零元素，对应列位置k1, k2, …, km，那么第i行中每一个位置非零的概率就是m/n，那么$C_{ij}$和中的每一项非零的概率就是$(\frac{m}{n}{)}^2$，然后再把和给加起来算概率就有点晕了。。。这么思考会忽略A的第i行平均有m个非零元素，这m个非零元素的排列就有A(n,m)中可能性，假设这些可能性之间是等概率的，那就整体相当于$A(n,m)\ast \frac{1}{A(n,m)}\ast p$，即固定A的第i行平均有m个非零元素分布的前提下再去讨论B的非零情况，其中p就是B的非零概率和A的某一种分布对上的情况。所以首先要放弃$C_{ij}={\sum }_k{A}_{ik}{B}_{kj}$中每一个$A_{ik}$概率的分析，而且把A的第i行整体固定成一个分布

代码验证

import torch
n = 1000
m = 3

def generate(n,m):
    res = torch.empty(0,n)
    for _ in range(n):
        row = torch.concat([torch.ones(m), torch.zeros(n-m)])
        indices = torch.randperm(row.size(0))
        row = row[indices].unsqueeze(0)
        res = torch.concat([res, row], dim=0)
    return res
a = generate(n, m)
b = generate(n, m)
c = a@b
for i in range(n):
    print(len([item for item in c[i,:].tolist() if item > 0]))

'''
输出：
9
9
9
8
9
...
9
9
'''