扩展欧几里得算法（exgcd）

扩展欧几里得算法

原创已于 2023-07-19 09:17:52 修改 · 2.4k 阅读

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#算法 #c++ #数论

于 2022-10-14 20:10:42 首次发布

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本文介绍了扩展欧几里得算法及其应用，该算法用于求解形如 ax + by = c 的二元一次不定方程。文章通过数学推导详细解释了算法原理，并给出了一段 C++ 示例代码实现。

扩展欧几里得算法

$e xg c d$ 一般是用来求解 $a x + b y = c$ 这样的方程的。

首先，我们可以证明 $ax+by=\gcd(a,b)$ 。证明如下：

假设我们已经证得 $\ mod \ b)y'=\gcd(b,a \ mod \ b)(a \ mod \ b \neq 0)$
$\begin{aligned} ax+by&=\gcd(a,b) \\ ax+by&=\gcd(b,a \ mod \ b) \\ ax+by&=bx'+(a \ mod \ b)y' \\ &=bx'+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)y' \\ &=bx'+ay'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by' \\ &=ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y') \end{aligned}$

得 $ax+by=ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y')$

$\left\{\begin{matrix}x=y'\\y=x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y'\end{matrix}\right.$

当 $\ mod \ b=0$ 时， $ax+by=\gcd(a,b)=b$ ，所以此时 $x = 0, y = 1$

所以 $ax+by=\gcd(a,b)$ 是有解的，那么当 $g c d (a, b) ∣ c$ 时， $a x + b y = c$ 也是有解的，递归求解即可。

code

void exgcd(int a,int b){
	if(b==0){
		x=1;y=0;d=a;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}

例题

P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
long long x,y,d;
void exgcd(int a,int b){
	if(b==0){
		x=1;y=0;d=a;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	long long t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}
int main()
{
	long long a,b,c,vk,v1,v2,v3,v4;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		exgcd(a,b);
		if(c%d>0){
			printf("-1\n");
			continue;
		}
		x=x*c/d;y=y*c/d;
		a/=d;b/=d;
		if(y<0){
			vk=-y/a;
			x-=vk*b;y+=vk*a;
		}
		while(y<=0){
			x-=b;y+=a;
		}
		if(x<0){
			vk=-x/b;
			x+=vk*b;y-=vk*a;
		}
		while(x<=0){
			x+=b;y-=a;
		}
		if(x>0&&y>0){
			vk=x/b;
			x-=vk*b;y+=vk*a;
			if(x==0){
				x+=b;y-=a;
			}
			v1=x;v4=y;
			vk=y/a;
			x+=vk*b;y-=vk*a;
			if(y==0){
				x-=b;y+=a;
			}
			v3=x;v2=y;
			printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n",(v3-v1)/b+1,v1,v2,v3,v4);
		}
		else{
			v1=x;
			vk=-y/a;
			y+=vk*a;x-=vk*b;
			while(y<=0){
				x-=b;y+=a;
			}
			v2=y;
			printf("%lld %lld\n",v1,v2);
		}
	}
	return 0;
}