扩展欧几里得算法的使用及简单证明

一、简要介绍

扩展欧几里得算法（ExGcd）是基于传统欧几里得算法的实现，主要用于计算不定方程 $ax+by=\gcd (a,b)(a,b\in \mathbb{Z})$ 的一组特殊整数解。类似于传统的欧几里得算法计算 $\gcd (a,b)$ 时将 $\gcd (a,b)$ 转化为 $gcd(b,a\mathrm{mod}b)$ ，扩展欧几里得算法通过类似的系数辗转相除法求出 $x,y$ 的一组解。

如果我们不使用扩展欧几里得算法计算 $ax+by=\gcd (a,b)$ 这样一组不等式，则我们需要使用如下方法：
$ax+by=\gcd (a,b)$
移项，得 $ax=\gcd (a,b)-by$
系数化为 $1$ ，得 $x=\frac{\gcd (a,b)-by}{a}$
由于在上面的方程中 $y$ 未知，所以我们需要枚举每个可能的 $y$ 值来搜索 $x$ 的值。因此，若搜索范围为 $[l,r]$ ，上面的算法时间复杂度将会达到 $O(r-l)$ 。

但是，如果我们使用扩展欧几里得算法求解，我们将会很快得到 $x,y$ 的值，总体的时间复杂度为 $O(\log (r-l))$ 。下面，我们将会围绕 ExGcd 算法，介绍其使用前提，算法原理和相应的证明过程。

在本文中，所有 $a|b$ 的算式均表示 $a$ 整除 $b$ ，即 $b\mathrm{mod}a=0$ 。

二、扩展欧几里得算法的使用前提

该不定方程组为 $ax+by=\gcd (a,b)(a,b\in \mathbb{Z})$ 的形式。

其实，这个条件也适用于判断一个形如 $ax+by=s$ 的方程是否有解。只需判断 $s\mathrm{mod}\gcd (a,b)$ 是否等于 $0$ ，是则有解，否则无解。证明如下：

$\because a|gcd(a,b),b|gcd(a,b)$ （最大公约数的定义），
又 $\because x,y\in \mathbb{Z}$ ，
$\therefore ax|\gcd (a,b),by|\gcd (a,b)$ ，
$\therefore ax+by|\gcd (a,b)$ 。
$\because s=ax+by$ ，
$\therefore \gcd (a,b)|s$ ，
$\therefore s\mathrm{mod}\gcd (a,b)=0$ （模运算的性质）。

因此，我们可以得到，只要方程 $ax+by=s$ 有解， $s$ 一定满足 $s\mathrm{mod}\gcd (a,b)=0$ 。
也就是，扩展欧几里得算法对于所有有解的方程 $ax+by=s$ 均能得出一组特殊解。

三、扩展欧几里得的算法过程和证明以及代码演示

本部分的主要目标是求解方程 $ax+by=G\text{ (1)}$ 的值。令 $G=\gcd (a,b)$ 。

假设我们已经求得一组解 $x^{\prime },y^{\prime }$ ，使得 $b{x}^{\prime }+(a\mathrm{mod}b)y^{\prime }=G\text{ (2)}$ ，类似于 $\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$ ，则我们可以联立 $\text{(1)(2)}$ ，得到如下的方程组：
$$\{\begin{array}{ll}ax+by=G& \text{(1)}\\ b{x}^{\prime }+(a\mathrm{mod}b)y^{\prime }=G& \text{(2)}\end{array}$$
由于 $G$ 已知，我们可以得到方程
$$ax+by=b{x}^{\prime }+(a\mathrm{mod}b)y^{\prime }$$
$\because a\mathrm{mod}b=a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$ ，
$\therefore$ 原方程可以化为
$$ax+by=b{x}^{\prime }+(a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )y^{\prime }$$
去括号，得
$$ax+by=b{x}^{\prime }+a{y}^{\prime }-b{y}^{\prime }\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$$
对于 $b$ 合并同类项，得到
$$ax+by=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )$$
由此，我们可以得到方程的一组解：
$$\{\begin{array}{l}x=y^{\prime }\\ y=x^{\prime }-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \end{array}$$
代入，得到
$$\begin{gathered} ax+by=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor ) \\ \Rightarrow ax+by=ax+b{y}^{\prime } \end{gathered}$$
$\therefore$ 上述解是原方程的一组解。

循环往复，将系数替换再次求解，直到得到 $a_n=G,b_n=0$ ，再将数据层层带回，得到 $x,y$ 的一组解。

由此，我们可以得到扩展欧几里得算法的代码实现：

int x, y, xx, yy;

void ExGcd(int a, int b)
{
    if (b == 0) // 当 b = 0 时，到达递归出口，记录边界解，返回值，层层代入
    {
    	x = 1;
    	y = 0;
    	return;
    }
	
	ExGcd(b, a % b); // 求解方程 bx' + (a mod b)y' = gcd(a,b)
	xx = x, yy = y; // 备份原来的 x' 和 y'
	// 代入上面的解
	x = yy;
	y = xx - b * (a / b);
	// 为了节省空间，此处也可以仅备份 x' 的值，因为 y' 的值会立刻赋值给 x 并且 y' 的值与 y 的值无关
}

// x, y 即为答案

三、实例应用和分析

原题链接：洛谷 $\text{P1052}$ 同余方程

使用 ExGcd 的方法：
题目要求我们求以下方程组的解：
$$ax\equiv 1(\text{mod }b)$$
设有一个整数 $y<0$ ，且满足
$$ax=-by+1$$
则通过移项可以得到，
$$ax+by=1$$
通过上面的证明，我们可以得知 $\gcd (a,b)=1$
$\therefore ax+by=\gcd (a,b)$ ，可以使用 ExGcd 算法求解。

本题需要解决的另外一个问题是如何求得最小的解。我们可以通过下面的方式：
设 $p\in \mathbb{Z}$ ，则
$$ax+by+pab-pab=1$$
转化，可得
$$a(x+pb)+b(y-pa)=1$$
通过调整 $k$ 的值，可以确定 $x$ 是最小的正整数解。
然而，此题不需要考虑这种情况也可以直接通过。

代码如下，注意由于 $2\le a,b\le 2\times 10^9$ ，所以要开 long long 。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long a, b, x, y, xx, yy;

void ExGcd(long long a, long long b)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return ;
    }

    ExGcd(b, a % b);
    xx = x, yy = y;
    x = yy;
    y = xx - (a / b) * yy;
}

int main()
{
    cin >> a >> b;

    ExGcd(a, b);

    x = (x % b + b) % b;
    cout << x << endl;

    return 0;
}