扩展欧几里德算法简单证明

最新推荐文章于 2021-12-18 20:17:59 发布

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本文详细介绍了扩展欧几里德算法，一种基于辗转相除法求解最大公约数并找出满足特定线性方程整数解的方法。文章不仅提供了算法的递归和非递归实现代码，还深入探讨了其数学原理，包括时间复杂度和解的大小范围。

扩展欧几里德算法

顾名思义，扩展欧几里德算法（Extended Euclidean algorithm）是在欧几里德（Euclidean algorithm）——（也就是辗转相除法）的基础上扩展得来的。
算法要求得出一个整数解x和y，使得a * x + b * y = gcd(a,b).

先简单说一下欧几里德算法：对于求解两个整数a，b（a>b）的最大公约数gcd(a,b)问题，等价于求解gcd(b,a mod b)，也就是说，（~~划重点~~）gcd(a,b) == gcd(b,a mod b)
这里就不给出证明了

gcd递归实现代码1：

int gcd(int a,int b){
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

gcd递归实现代码2(简化)：

int gcd(int a,int b){
    return b!=0 ? gcd(b,a%b) : a;
}

gcd非递归实现：

int gcd(int a,int b){
    while(b){
        int t = a;
        a = b;
        b = t%b;
    }
    return a;
}

接下来我们直接利用上面的结论来证明扩展欧几里德算法

证明：

$1 ：当 b = 0 时，显然 g c d (a, b) = a ，并且此时 x = 1 ， y = 0$ $2：当b≠0时，假设：a⋅x1+b⋅y1=gcd(a,b)，b⋅x2+(a%b)⋅y2=gcd(b,a%b)把a%b=a−(a/b)∗b和gcd(a,b)=gcd(b,a%b)代入得到：a⋅x1+b⋅y1=b⋅x2+[a−(a/b)∗b]⋅y2a⋅x1+b⋅y1=a⋅y2+b⋅[x2−(a/b)⋅y2]\\2：当b\neq0时，假设：a\cdot x1+b\cdot y1 =gcd(a,b) ，b\cdot x2+(a\%b)\cdot y2 = gcd(b,a\%b)\\把a\%b=a-(a/b)*b 和 gcd(a,b) = gcd(b,a\%b)代入得到：\\a\cdot x1+b\cdot y1 = b\cdot x2+[a-(a/b)*b]\cdot y2 \\ a\cdot x1+b\cdot y1=a\cdot y2+b\cdot [x2-(a/b)\cdot y2]$
$这样可以推导出x1=y2，y1=[x2−(a/b)⋅y2]将b=0的情况作为递归基，不断递归算出x和y这样可以推导出x1=y2，y1=[x2-(a/b)\cdot y2] \\ 将b=0的情况作为递归基，不断递归算出x和y$
容易得出递归是有穷的，因为辗转相除是有穷的，递归到最后b肯定会变成0.

递归实现：

void extgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extgcd(b,a%b,x,y);
    int x1 = x,y1 = y;
    x = y1;
    y = x1 - (a/b) * y1;
}

非递归实现比递归实现麻烦太多，就不写出来了

关于扩展欧几里德算法的时间复杂度：
看一下递归方法就能知道，扩展欧几里德算法和辗转相除法的复杂度一样，复杂度在 O(log max(a,b)) 以内
证明：
如果a<b，经过一次递归之后a和b交换变成了a>b
在a>b的情况下，函数按gcd(a,b) => gcd(b,a%b) => gcd(a%b,b%(a%b))递归下去
当b>a/2时：a%b=a-b<a/2
当b<a/2时：a%b<b<a/2
可以发现每两次递归之后第一个参数一定会小于原来的一半。
关于a * x+b * y = gcd(a,b)解的大小：
结论：|x|<=b 且 |y|<=a
利用归纳法来证明：
①在b=0的前一步，即a%b=0时有x=1且y=1，结论显然成立
②假设对于调用(b , a%b , x , y )后得到的x1和y1
存在 |x1|<=a%b，|y1|<=b
则 |x| = |y1| <= b，|y| = |x1-(a/b)*y1|<=|x1|+(a/b)|y1|<=a%b+(a/b)*b=a