本文详细证明了在函数极值点处，如果函数的导数存在，则该点处的导数值必须为零。通过讨论函数在极值点两侧的增量与差商，分别得出左导数和右导数非负和非正的结论，从而得出导数等于零的结论，验证了费马定理的内容。
费马定理
设x0x_0x0是函数fff的一个极值点，如果f′(x0)f'(x_0)f′(x0)存在，则f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0
证明
设x0x_0x0为fff的极小值点，则∃ρ>0\exist\rho>0∃ρ>0，使得当∣x−x0∣<ρ|x-x_0|<\rho∣x−x0∣<ρ时，有
f(x)≥f(x0)f(x)\geq f(x_0)f(x)≥f(x0)
于是当x0<x<x0+ρx_0<x<x_0+\rhox0<x<x0+ρ时，
f(x)−f(x0)x−x0≥0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq0x−x0f(x)−f(x0)≥0
由于f′(x0)f'(x_0)f′(x0)存在，所以
f′(x0)=f+′(x0)=limx→x0+f(x)−f(x0)x−x0≥0f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq0f′(x0)=f+′(x0)=x→x0+limx−x0f(x)−f(x0)≥0
而当x0−ρ<x<x0x_0-\rho<x<x_0x0−ρ<x<x0时，
f(x)−f(x0)x−x0≤0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0x−x0f(x)−f(x0)≤0
由于f′(x0)f'(x_0)f′(x0)存在，所以
f′(x0)=f−′(x0)=limx→x0−f(x)−f(x0)x−x0≤0f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0f′(x0)=f−′(x0)=x→x0−limx−x0f(x)−f(x0)≤0
综上所述，f′(x0)≥=0,f′(x0)≤0f'(x_0)\geq=0,f'(x_0)\leq 0f′(x0)≥=0,f′(x0)≤0，所以f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0
思路： 通过极值点在某个邻域内最大（最小），运用左导数===右导数，证明f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0
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