为什么函数极值点的导数为零

本文详细证明了在函数极值点处,如果函数的导数存在,则该点处的导数值必须为零。通过讨论函数在极值点两侧的增量与差商,分别得出左导数和右导数非负和非正的结论,从而得出导数等于零的结论,验证了费马定理的内容。

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费马定理

x0x_0x0是函数fff的一个极值点,如果f′(x0)f'(x_0)f(x0)存在,则f′(x0)=0f'(x_0)=0f(x0)=0

证明

x0x_0x0fff的极小值点,则∃ρ>0\exist\rho>0ρ>0,使得当∣x−x0∣<ρ|x-x_0|<\rhoxx0<ρ时,有
f(x)≥f(x0)f(x)\geq f(x_0)f(x)f(x0)

于是当x0<x<x0+ρx_0<x<x_0+\rhox0<x<x0+ρ时,
f(x)−f(x0)x−x0≥0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq0xx0f(x)f(x0)0

由于f′(x0)f'(x_0)f(x0)存在,所以
f′(x0)=f+′(x0)=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0≥0f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq0f(x0)=f+(x0)=xx0+limxx0f(x)f(x0)0

而当x0−ρ<x<x0x_0-\rho<x<x_0x0ρ<x<x0时,
f(x)−f(x0)x−x0≤0\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0xx0f(x)f(x0)0

由于f′(x0)f'(x_0)f(x0)存在,所以
f′(x0)=f−′(x0)=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0≤0f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0f(x0)=f(x0)=xx0limxx0f(x)f(x0)0

综上所述,f′(x0)≥=0,f′(x0)≤0f'(x_0)\geq=0,f'(x_0)\leq 0f(x0)=0,f(x0)0,所以f′(x0)=0f'(x_0)=0f(x0)=0


思路: 通过极值点在某个邻域内最大(最小),运用左导数===右导数,证明f′(x0)=0f'(x_0)=0f(x0)=0

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