64.最小路径和 python

题目

题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 200

题解

思路分析

这个问题可以通过动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决。我们可以定义 dp[i][j] 表示到达位置 (i, j) 时的最小路径和。为了计算每个位置的最小路径和，我们需要考虑以下几点：

1. 初始化：

   • dp[0][0] = grid[0][0]，即起点的路径和就是它本身的值。
   • 初始化第一行和第一列，因为它们只能从左侧或上方走到当前位置，所以路径和是累积的。

2. 状态转移：

   • 对于其他位置 (i, j)，可以由上方 (i-1, j) 或左侧 (i, j-1) 走到当前位置，因此 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]。

最终结果为 dp[m-1][n-1]，即到达右下角的最小路径和。

Python 实现代码

def minPathSum(grid: List[List[int]]) -> int:
    if not grid or not grid[0]:
        return 0
    
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    # 使用原数组进行动态规划以节省空间
    dp = grid
    
    # 初始化第一列
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] += dp[i-1][0]
    
    # 初始化第一行
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] += dp[0][j-1]
    
    # 填充dp数组
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] += min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    
    return dp[-1][-1]

代码解释

1. 初始化检查：首先检查输入是否为空，如果为空则返回 0。
2. 初始化第一行和第一列：遍历第一行和第一列，将它们的路径和设为累积值，因为这些位置只能从左侧或上方走过来。
3. 填充dp数组：对于每个非边界位置 (i, j)，计算可以从上方或左侧到达的最小路径和，并加上当前位置的值。
4. 返回结果：最终返回 dp[m-1][n-1]，即到达右下角的最小路径和。

这种方法的时间复杂度为 O(m * n)，空间复杂度为 O(1)（因为我们直接在原数组上进行修改）。根据题目数据范围（1 <= m, n <= 200），这种解法是高效且可行的。

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