Leetcode300. 最长递增子序列

本文详细解析了LeetCode题目300寻找最长递增子序列的两种方法:动态规划和贪心算法配合二分查找。通过实例代码展示了如何利用dp数组进行状态转移和计算最长递增子序列长度,以及如何利用贪心策略简化问题并提高效率。

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Leetcode300. 最长递增子序列

题目:
给你一个整数数组 nums ,找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如,[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1:

输入:nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出:4
解释:最长递增子序列是 [2,3,7,101],因此长度为 4

示例 2:

输入:nums = [0,1,0,3,2,3]
输出:4

示例 3:

输入:nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出:1

题解:
方案一:动态规划
定义 dp[i]dp[i]dp[i] 为考虑前 iii 个元素,以第 iii个数字结尾的最长上升子序列的长度,注意 nums[i]nums[i]nums[i] 必须被选取。

我们从小到大计算dpdpdp 数组的值,在计算 dp[i]dp[i]dp[i] 之前,我们已经计算出 dp[0…i−1]dp[0…i−1]dp[0i1] 的值,则状态转移方程为:

dp[i]=max(dp[j])+1,其中0≤j<i且num[j]<num[i]dp[i]=max(dp[j])+1,其中0≤j<i且num[j]<num[i]dp[i]=max(dp[j])+1,其中0j<inum[j]<num[i]

即考虑往 dp[0…i−1]dp[0…i−1]dp[0i1] 中最长的上升子序列后面再加一个nums[i]nums[i]nums[i]。由于 dp[j]dp[j]dp[j] 代表 nums[0…j]nums[0…j]nums[0j] 中以nums[j]nums[j]nums[j] 结尾的最长上升子序列,所以如果能从 dp[j]dp[j]dp[j] 这个状态转移过来,那么nums[i]nums[i]nums[i] 必然要大于nums[j]nums[j]nums[j],才能将nums[i]nums[i]nums[i] 放在nums[j]nums[j]nums[j] 后面以形成更长的上升子序列。

最后,整个数组的最长上升子序列即所有 dp[i]dp[i]dp[i] 中的最大值。

LISlength=max⁡(dp[i]),其中 0≤i<n\text{LIS}_{\textit{length}}= \max(\textit{dp}[i]), \text{其中} \, 0\leq i < nLISlength=max(dp[i]),其中0i<n

方案二:贪心+二分法
[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 4, 1]
在这里插入图片描述

java代码:

 /**
     * 动态规划
     * dp[i]=max(dp[j])+1,其中0≤j<i且num[j]<num[i]
     *
     * @param nums
     * @return
     */
    public static int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
        int len = nums.length;
        int[] dp = new int[len];
        int res = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            res = Math.max(dp[i], res);
        }
        return res;
    }

    /**
     * 贪心+二分法
     *
     * @param nums
     * @return
     */
    public static int lengthOfLIS2(int[] nums) {
        int len = 1;
        int n = nums.length;
        if (n == 0) return 0;
        int[] d = new int[n + 1];
        d[len] = nums[0];

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (nums[i] > d[len]) {
                len++;
                d[len] = nums[i];
            } else {
                int l = 1, r = len, pos = 0;
                while (l <= r) {
                    int mid = l + (r - l) / 2;
                    if (nums[i] > d[mid]) {
                        pos = mid;
                        l = mid + 1;
                    } else {
                        r = mid - 1;
                    }
                }
                d[pos + 1] = nums[i];
            }
        }
        return len;
    }
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