Leetcode69. x 的平方根

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于 2019-12-30 18:50:56 首次发布

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本文详细解析了LeetCode 69题x的平方根的两种解题方法：二分法和牛顿法。介绍了每种方法的原理、时间与空间复杂度，并提供了具体的代码实现。

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Leetcode69. x 的平方根

题目：
实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 $x$ 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。
题解：
方法一：二分法

时间复杂度： $O (l o g N)$ ，二分法的时间复杂度是对数级别的。
空间复杂度： $O (1)$ ，使用了常数个数的辅助空间用于存储和比较。

 def mySqrt(x: Int): Int = {

    var left: Long = 0l
    var right: Long = x / 2 + 1l

    while (left < right) {
      // 注意：这里一定取右中位数，如果取左中位数，代码可能会进入死循环
      val mid: Long = left + (right - left + 1)  / 2
      val square = mid * mid
      if (square > x) {
        right = mid - 1
      } else {
        left = mid
      }
    }
    left.toInt
  }

方法二：牛顿法
在这里插入图片描述
牛顿法原理：是不断运用 $(x, f (x))$ 的切线与 $x$ 轴的焦点来逼近方程 $x^2-a=0$ 的根。
函数 $f(x)=x^2-a$ 在 $x_0,f(x_0))$ 处的切线方程为： $f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$
切线方程和 $x$ 轴的交点：
令 $f (x) = 0$ 得： $f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)=0$
$x=x0−f(x0)f′(x0)=x0−x02−a2x0=2x02−x02+a2x0=12(x0+ax0)x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} =x_0-\frac{x_0^2-a}{2x_0} =\frac{2x_0^2-x_0^2+a}{2x_0} =\frac{1}{2}(x_0+\frac{a}{x_0})$

故迭代公式： $x=12(x0+ax0)x=\frac{1}{2}(x_0+\frac{a}{x_0})$

java代码：

 public static int mySqrt(int a) {
        if (a == 0) return 0;
        int x = a;
        while (x * x > a) {
            x = (x + a / x) / 2;
        }
        return x;
    }

def mySqrt2(a: Int): Int = {
    var x = 0l
    if (a == 0) {
      x = 0l
    } else {
      x = a.toLong
      while (x * x > a) {
        x = (x + a / x) / 2
      }
    }
    x.toInt
  }