Leetcode69. x 的平方根

本文详细解析了LeetCode 69题x的平方根的两种解题方法:二分法和牛顿法。介绍了每种方法的原理、时间与空间复杂度,并提供了具体的代码实现。

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Leetcode69. x 的平方根

题目:
实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 xxx 的平方根,其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数,结果只保留整数的部分,小数部分将被舍去。
题解:
方法一:二分法

  • 时间复杂度:O(log⁡N)O(log⁡N)O(logN),二分法的时间复杂度是对数级别的。
  • 空间复杂度:O(1)O(1)O(1),使用了常数个数的辅助空间用于存储和比较。
 def mySqrt(x: Int): Int = {

    var left: Long = 0l
    var right: Long = x / 2 + 1l

    while (left < right) {
      // 注意:这里一定取右中位数,如果取左中位数,代码可能会进入死循环
      val mid: Long = left + (right - left + 1)  / 2
      val square = mid * mid
      if (square > x) {
        right = mid - 1
      } else {
        left = mid
      }
    }
    left.toInt
  }

方法二:牛顿法
在这里插入图片描述
牛顿法原理:是不断运用(x,f(x))(x,f(x))(x,f(x))的切线与xxx轴的焦点来逼近方程x2−a=0x^2-a=0x2a=0的根。
函数f(x)=x2−af(x)=x^2-af(x)=x2a(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0,f(x0))处的切线方程为:f(x)−f(x0)=f′(x0)(x−x0)f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)f(x)f(x0)=f(x0)(xx0)
切线方程和xxx轴的交点:
f(x)=0f(x)=0f(x)=0得:f(x0)+(x−x0)f′(x0)=0f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)=0f(x0)+(xx0)f(x0)=0
x=x0−f(x0)f′(x0)=x0−x02−a2x0=2x02−x02+a2x0=12(x0+ax0)x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} =x_0-\frac{x_0^2-a}{2x_0} =\frac{2x_0^2-x_0^2+a}{2x_0} =\frac{1}{2}(x_0+\frac{a}{x_0})x=x0f(x0)f(x0)=x02x0x02a=2x02x02x02+a=21(x0+x0a)

故迭代公式:x=12(x0+ax0)x=\frac{1}{2}(x_0+\frac{a}{x_0})x=21(x0+x0a)

java代码:

 public static int mySqrt(int a) {
        if (a == 0) return 0;
        int x = a;
        while (x * x > a) {
            x = (x + a / x) / 2;
        }
        return x;
    }
def mySqrt2(a: Int): Int = {
    var x = 0l
    if (a == 0) {
      x = 0l
    } else {
      x = a.toLong
      while (x * x > a) {
        x = (x + a / x) / 2
      }
    }
    x.toInt
  }
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