hdu4686 Arc of Dream ——构造矩阵+快速幂

本文介绍了一种使用矩阵快速幂方法求解特定形式数列和的高效算法。该算法适用于形如求a[i]与b[i]乘积之和的问题，并通过构建特定矩阵并进行快速幂运算达到O(log n)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

矩阵构造：

一个矩阵全是常量，另一个是a[i]的，求a[i+1]的!

构造矩阵如下：
Ai*bi        AX*BX    AX*BY   AY*BX    AY*BY      0      a(i-1)*b(i-1)
Ai            0       AX       0       AY         0      a(i-1)
Bi            0       0        BX      BY         0      b(i-1)
1             0       0        0       1          0      1
Sum(i)        AX*BX   AX*BY   AY*BX    AY*BY      1      sum(i-1)
Sum(i) 表示i项和,sum(i)=sum(i-1)+ai*bi;
求第n次的结果,直接对矩阵作n-1次，利用矩阵快速幂,时间复杂度为10*logn~logn
注意取模爆范围和对n=0特判。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cstring>
#include<set>
#include<map>
#include<list>
#include<queue>
#include<vector>
#define tree int o,int l,int r
#define lson o<<1,l,mid
#define rson o<<1|1,mid+1,r
#define lo o<<1
#define ro o<<1|1
#define ULL unsigned long long
#define LL long long
#define inf 0x7fffffff
#define eps 1e-7
#define M 1000000007
#define N 100009
using namespace std;
//int T,m,k,t,maxv;
LL a0,b0,ax,bx,ay,by,n;
LL ma[5][5];
LL ans[5][5];
void multi(LL a[][5],LL b[][5])
{
    LL c[5][5];
    for(int i=0; i<5; i++)
        for(int j=0; j<5; j++)
        {
            c[i][j]=0;
            for(int k=0; k<5; k++)
            if(a[i][k]&&b[k][j])
            {
                c[i][j]=(c[i][j]+(a[i][k]*b[k][j])%M)%M;
            }
        }
    memcpy(a,c,sizeof(c));
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("ex.in","r",stdin);
#endif
    while(scanf("%I64d",&n)==1)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d",&a0,&ax,&ay);
        scanf("%I64d%I64d%I64d",&b0,&bx,&by);
        if(n==0)//TLE,不加的话超时！
        {
            puts("0");
            continue;
        }
        n--;
        memset(ma,0,sizeof(ma));
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        ma[0][0]=1;

        ma[1][0]=ax*bx;
        ma[1][1]=ax*bx;

        ma[2][0]=ax*by;
        ma[2][1]=ax*by;
        ma[2][2]=ax;

        ma[3][0]=ay*bx;
        ma[3][1]=ay*bx;
        ma[3][3]=bx;

        ma[4][0]=ay*by;
        ma[4][1]=ay*by;
        ma[4][2]=ay;
        ma[4][3]=by;
        ma[4][4]=1;

        ans[0][0]=a0*b0;
        ans[0][1]=a0*b0;
        ans[0][2]=a0;
        ans[0][3]=b0;
        ans[0][4]=1;

        for(int i=0; i<5; i++)
        {
            for(int j=0; j<5; j++)
            {
                ma[i][j]%=M;
                ans[i][j]%=M;
            }
        }

        while(n)
        {
            if(n&1)
                multi(ans,ma);
            n>>=1;
            multi(ma,ma);
        }
        printf("%I64d\n",ans[0][0]);
    }
    return 0;
}