hdu 4686 Arc of Dream【矩阵快速幂】

最新推荐文章于 2025-09-21 17:57:55 发布

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂方法解决ArcofDream问题的方法，包括问题描述、输入输出规范及详细解题过程。适用于对算法优化和矩阵运算感兴趣的读者。

Arc of Dream

Time Limit: 2000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/65535 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3523 Accepted Submission(s): 1108

Problem Description

An Arc of Dream is a curve defined by following function:

where
a₀ = A0
a_i = a_i-1*AX+AY
b₀ = B0
b_i = b_i-1*BX+BY
What is the value of AoD(N) modulo 1,000,000,007?

Input

There are multiple test cases. Process to the End of File.
Each test case contains 7 nonnegative integers as follows:
N
A0 AX AY
B0 BX BY
N is no more than 10¹⁸, and all the other integers are no more than 2×10⁹.

Output

For each test case, output AoD(N) modulo 1,000,000,007.

Sample Input
1
1 2 3
4 5 6
2
1 2 3
4 5 6
3
1 2 3
4 5 6

Sample Output
4
134
1902

题目大意：让你求Aod（n）的值，其中每个元素的计算公式已给出。

分析：因为n比较大，即使是O(n)也是一样会超时，所以我们采用矩阵快速幂的方式来解题。

解题过程+思路：

我们设Fn=an*bn Sn=Sn-1+Fn-1.

这个时候我们能够通过Fn-1和Sn-2来得到Sn-1

Sn-1=Sn-2+Fn-1.

其中an和bn还有两个公式，我们将其展开。

Fn=(an*bn)=(an-1*ax+ay)*(bn-1*bx+by)=an-1*bn-1*ax*bx+an-1*ax*ay+ay*bn-1*bx+ay*by;

这个时候我们只需要五维矩阵就能求出Sn-1：

求得矩阵为：

这个时候我们只需要n-1幂矩阵然后乘上由F1 a1 b1 1 s0构成的矩阵即可得到所求解、

最终我们推出的式子清晰的描述为这样：

AC代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
#define ll __int64
#define mod  1000000007
typedef struct Matrix
{
    ll mat[7][7];
}matrix;
matrix A,B,tmp;
Matrix matrix_mul(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    int i,j,k;
    for(int i=0;i<5;i++)
    {
        for(int j=0;j<5;j++)
        {
            for(int k=0;k<5;k++)
            {
                c.mat[i][j]+=(a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod;
                c.mat[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
Matrix matrix_quick_power(matrix a,ll k)//矩阵快速幂0.0
{
    matrix b;
    memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));
    for(int i=0;i<5;i++)
    b.mat[i][i]=1;//单位矩阵b
    while(k)
    {
        if(k%2==1)
        {
            b=matrix_mul(a,b);
            k-=1;
        }
        else
        {
            a=matrix_mul(a,a);
            k/=2;
        }
    }
    return b;
}
int main()
{
    ll n;
    ll a,ax,ay,b,bx,by;
    while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&n,&a,&ax,&ay,&b,&bx,&by))
    {
        if(n==0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll a1=(a*ax+ay)%mod;
        ll b1=(b*bx+by)%mod;
        ll f1=(a1*b1)%mod;
        ll s0=(a*b)%mod;
        memset(tmp.mat,0,sizeof(tmp.mat));
        tmp.mat[0][0]=f1;
        tmp.mat[1][0]=a1;
        tmp.mat[2][0]=b1;
        tmp.mat[3][0]=1;
        tmp.mat[4][0]=s0;
        memset(A.mat,0,sizeof(A.mat));
        A.mat[0][0]=(ax*bx)%mod;A.mat[0][1]=(ax*by)%mod;A.mat[0][2]=(ay*bx)%mod;A.mat[0][3]=(ay*by)%mod;A.mat[0][4]=0;
        A.mat[1][0]=0;          A.mat[1][1]=ax%mod;     A.mat[1][2]=0;          A.mat[1][3]=ay%mod;     A.mat[1][4]=0;
        A.mat[2][0]=0;          A.mat[2][1]=0;          A.mat[2][2]=bx%mod;     A.mat[2][3]=by%mod;     A.mat[2][4]=0;
        A.mat[3][0]=0;          A.mat[3][1]=0;          A.mat[3][2]=0;          A.mat[3][3]=1;          A.mat[3][4]=0;
        A.mat[4][0]=1;          A.mat[4][1]=0;          A.mat[4][2]=0;          A.mat[4][3]=0;          A.mat[4][4]=1;
        B=matrix_quick_power(A,n-1);
        B=matrix_mul(B,tmp);
        printf("%I64d\n",B.mat[4][0]);
    }
}