HDU 4686 Arc of Dream(构造矩阵 快速幂)

本文介绍了一种通过构造矩阵的方法来高效计算弧梦曲线在特定点的取值,并提供了一个完整的C++代码实现。该方法适用于处理大规模数据集,尤其当输入参数N非常大时,能够快速准确地计算出弧梦曲线的值。

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Arc of Dream

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Total Submission(s): 5059    Accepted Submission(s): 1584


Problem Description
An Arc of Dream is a curve defined by following function:

where
a 0 = A0
a i = a i-1*AX+AY
b 0 = B0
b i = b i-1*BX+BY
What is the value of AoD(N) modulo 1,000,000,007?
 

Input
There are multiple test cases. Process to the End of File.
Each test case contains 7 nonnegative integers as follows:
N
A0 AX AY
B0 BX BY
N is no more than 10 18, and all the other integers are no more than 2×10 9.
 

Output
For each test case, output AoD(N) modulo 1,000,000,007.
 

Sample Input
  
1 1 2 3 4 5 6 2 1 2 3 4 5 6 3 1 2 3 4 5 6
 

Sample Output
  
4 134 1902
 

Author
Zejun Wu (watashi)
 

Source
 

这题就是构造矩阵,链接里的和我的没差,就是顺序不太一样。
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define  LL long long
const LL N = 5;
const LL p = 1e9+7;
struct mx
{
    LL a[N+1][N+1];
};
mx cheng(mx a,mx b)
{
    mx ans;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        for(int j=1;j<=N;j++)
        {
            ans.a[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=N;k++)
            {
                (ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j])%=p;
            }
        }
    }
    return ans;
}
mx qkm(mx base,LL mi)
{
    mx ans;
    for(LL i=1;i<=N;i++)
    {
        for(LL j=1;j<=N;j++)
        {
            ans.a[i][j]=i==j;
        }
    }
    while(mi)
    {
        if(mi&1) ans=cheng(ans,base);
        base=cheng(base,base);
        mi>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    LL n;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        LL a0,ax,ay;
        LL b0,bx,by;
        scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %lld",&a0,&ax,&ay,&b0,&bx,&by);
        LL x1=ax;
        LL x2=bx;
        LL y1=ay;
        LL y2=by;
        if(n==0) printf("0\n");
        else if(n==1) printf("%lld\n",a0*b0%p);
        else
        {
            mx base;
            base.a[1][1]=1;base.a[1][2]=0;      base.a[1][3]=0; base.a[1][4]=0; base.a[1][5]=0;
            base.a[2][1]=1;base.a[2][2]=x1*x2%p;base.a[2][3]=0; base.a[2][4]=0; base.a[2][5]=0;
            base.a[3][1]=0;base.a[3][2]=y1*x2%p;base.a[3][3]=x2;base.a[3][4]=0; base.a[3][5]=0;
            base.a[4][1]=0;base.a[4][2]=y2*x1%p;base.a[4][3]=0; base.a[4][4]=x1;base.a[4][5]=0;
            base.a[5][1]=0;base.a[5][2]=y1*y2%p;base.a[5][3]=y2;base.a[5][4]=y1;base.a[5][5]=1;
            base=qkm(base,n-1);
            LL a1=(x1*a0%p+y1)%p;
            LL b1=(x2*b0%p+y2)%p;
            LL b2=(x2*b1%p+y2)%p;
            LL a2=(x1*a1%p+y1)%p;
          //  printf("%lld %lld\n",a2,b2);
            LL z[6];
            z[1]=a0*b0%p;
            z[2]=a1*b1%p;
            z[3]=b1;
            z[4]=a1;
            z[5]=1;
            LL ans=0;
            for(int k=1;k<=5;k++)
            {
                ans+=z[k]*base.a[k][1];
            }
            printf("%lld\n",ans%p);
        }
    }
}


### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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