本文深入探讨了数学函数f(x)的求解方法，通过分析f(x)=nx−∑i=1n⌊xi⌋的性质，揭示了x+1与x在函数值上的变化规律，指出仅当i为x+1的约数时，函数值会增加，并给出了求解f(x)的简化公式f(x)=f(x−1)+nx−∑d∣xdf(x)，为理解复杂数学问题提供了新的视角。
题目
设f(x)=∑i=1nx mod if(x)=\sum_{i=1}^n x \bmod if(x)=∑i=1nxmodi
分析
那么f(x)=nx−∑i=1n⌊xi⌋if(x)=nx-\sum_{i=1}^n \lfloor\frac{x}{i}\rfloor if(x)=nx−i=1∑n⌊ix⌋i
考虑⌊xi⌋\large\lfloor\frac{x}{i}\rfloor⌊ix⌋与⌊x+1i⌋\large\lfloor\frac{x+1}{i}\rfloor⌊ix+1⌋的关系，发现只有iii是x+1x+1x+1的约数时答案才会增加，
所以f(x)=f(x−1)+nx−∑d∣xdf(x)=f(x-1)+nx-\sum_{d|x}df(x)=f(x−1)+nx−d∣x∑d
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