莫比乌斯容斥 笔记

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算法讲解

（本篇文章假设您学过莫比乌斯反演 (〃‘▽’〃)

我们知道莫比乌斯函数有一个性质： $\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$

根据这条性质，我们写出一个类似筛的东西：一个数组，初始都是 $0$。 第 $i$ 轮，将 $i$ 的倍数都加上 $\mu (i)$。

$n$ 轮之后，显然只有第一个位置还剩一个 $1$，其它都变成了 $0$。好好理解下这个表，然后往下看。

那么，假设现在我们要求 $n=1$ 时的答案，但是我们方便求的只有 $n$ 的倍数的答案和，如何转化捏 （⊙.⊙）

我们设 $f(x)$ 表示 $n$ 恰好为 $x$ 的答案，$F(x)$ 表示 $n$ 为 $x$ 的倍数的答案和，即 $\sum _{x|n}f(n)$。

考虑 $\sum _{i=1}^n\mu (i)F(i)$，

它 $=\sum _{i=1}^n\sum _{i|j}\mu (i)f(j)$

考虑每个 $f(i)$ 被算了多少次，变为：

∑ j = 1 n f ( j ) ∑ i ∣ j μ ( i ) = ∑ j = 1 n f ( j ) [ j = 1 ] = f ( 1 ) \sum\limits_{j=1}^{n} f(j) \sum\limits_{i|j} \mu(i)=\sum\limits_{j=1}^{n} f(j) [j=1]=f(1)