#dp#洛谷 3917 异或序列

博客详细分析了洛谷3917题目的解题思路,通过将问题转化为二进制位的讨论,提出dp[t]表示二进制第t位的答案,并得出当x的第t位为0时答案不变,为1时取反的结论。最终解决方案是通过求和dp[t] * 2^t来获得最终答案。

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题目

∑1≤j≤i≤na[j]xora[j+1]xor…xora[i−1]xora[i]\sum_{1\leq j\leq i\leq n}a[j] xor a[j+1]xor\dots xor a[i-1] xor a[i]1jina[j]xora[j+1]xorxora[i1]xora[i]


分析

把二进制位分开讨论,设dp[t]dp[t]dp[t]表示二进制第ttt位的答案,若xxx的第ttt位为0,那么不会影响答案,仍然保留,若为1时,答案会是原来的取反,所以dp[t]=x−dp[t]dp[t]=x-dp[t]dp[t]=xdp[t],然后答案是∑dp[t]∗2t\sum dp[t]*2^tdp[t]2t


代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
using namespace std;
int n,dp[31]; long long ans;
inline signed iut(){
    rr int ans=0; rr char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return ans;
}
signed main(){
    n=iut();
    for (rr int i=1;i<=n;++i){
        rr int x=iut();
        for (rr int j=30;~j;--j){
            if (x&(1<<j)) dp[j]=i-dp[j];
            ans+=(1ll<<j)*dp[j];
        }
    }
    return !printf("%lld",ans);
}
### 关于洛谷平台上的异或和及十字路口相关编程题目 #### 题目描述 在一个城市中有若干个十字路口,每个十字路口有一个编号。给定两个数组 `a` 和 `b`,其中 `a[i]` 表示第 i 个十字路口的初始状态,而 `b[i]` 则表示该位置的目标状态。目标是在最少的操作次数内使所有的十字路口的状态从 `a` 变成 `b`。每次操作可以选择任意一个十字路口并将其状态翻转(即取反),同时也会翻转其相邻四个方向上所有存在的十字路口的状态。 对于这个问题,可以利用位运算中的异或特性来简化处理过程[^1]。 #### 解决方案概述 为了实现上述功能,可以通过构建图结构的方式模拟各个节点之间的连接关系,并采用广度优先搜索算法遍历整个网络寻找最短路径;另一种方法则是基于动态规划的思想求解最小步数。然而,在此特定情况下,更高效的方法是通过观察发现规律——当且仅当某一点及其周围四点共同作用时才可能改变最终结果,因此可以直接计算每一位差异再除以五向上取整得到答案。 #### Python 实现代码 下面提供了一种简单的Python解决方案: ```python def min_operations_to_convert(a, b): n = len(a) # 将输入列表转换为二进制字符串形式以便后续处理 a_bin_str = ''.join(['1' if x == 'Y' else '0' for x in a]) b_bin_str = ''.join(['1' if x == 'Y' else '0' for x in b]) # 转换为整型进行按位异或运算找出不同之处 xor_result = int(a_bin_str, 2) ^ int(b_bin_str, 2) count_of_diffs = bin(xor_result).count('1') return (count_of_diffs + 4) // 5 if __name__ == "__main__": test_a = ['N', 'Y', 'N'] test_b = ['Y', 'N', 'Y'] result = min_operations_to_convert(test_a, test_b) print(f"Minimum operations required: {result}") ```
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