#状压dp#洛谷 3888 拯救莫莉斯_拯救莫莉斯again-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sugar_free_mint/article/details/88847967

本文介绍了一个基于状压动态规划的问题解决方法。该方法应用于一个特定矩阵中，通过标记某些单元格来达到最小化权重之和的目标，同时确保所有单元格都被覆盖。文章详细解释了如何利用状态压缩技巧进行优化，并提供了完整的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

有一个 $n×mn\times m$ 的矩阵，现在标记一些格子，使未标记的格子与标记的相邻，使标记格子的点权和最小，并输出标记格子的个数。

分析

首先我们能够发现 $\times m \leq 50且m\leq n$ 也就是说 $m≤7m\leq 7$ ，那我们就可以用状压dp实现，设 $f [n] [i] [j]$ 表示第 $n$ 行的标记格子二进制状态为 $i$ , $n - 1$ 行为 $j$ 且前 $n - 1$ 行完全覆盖的最小点权和， $s [n] [i] [j]$ 为最小标记格子数，那么 $f[n][i][j]=\min\{f[n-1][j][k]+pay[n][i]\},s[n][i][j]=\min\{s[n-1][j][k]+cnt[i]\}$ ,且满足第 $n - 1$ 行完全覆盖， $c n t [i]$ 表示二进制数 $i$ 的1的个数， $p a y [n] [i]$ 表示第 $n$ 行二进制所表示的1的位置的点权和，需要预处理，初始化 $f [1] [i] [0] = p a y [1] [i], s [1] [i] [0] = c n t [i]$ ,最后求 $min\{f[n+1][0][i]\}$

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#define rr register
#define r(i,a,b) for (rr int i=a;i<=b;++i)
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
int n,m,all,cnt[131],pay[51][131],dp[51][131][131],sum[51][131][131];
inline signed iut(){
    rr int ans=0; rr char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return ans;
}
signed main(){
    n=iut(); m=iut(); all=(1<<m)-1;
    r(i,1,all) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
    r(i,1,n){
        r(j,0,m-1) pay[i][1<<j]=iut();
        r(j,1,all) pay[i][j]=pay[i][j-(-j&j)]+pay[i][-j&j];
    }
    memset(dp[1],127/3,sizeof(dp[1]));
    memset(sum[1],127/3,sizeof(sum[1]));
    r(i,0,all) dp[1][i][0]=pay[1][i],sum[1][i][0]=cnt[i];
    r(i,2,n+1){
        memset(dp[i&1],127/3,sizeof(dp[i&1]));
        memset(sum[i&1],127/3,sizeof(sum[i&1]));
        r(now,0,all) r(j,0,all) r(ls,0,all)
        if (((j|now|ls|(j<<1)|(j>>1))&all)==all){
            if (dp[(i&1)^1][j][ls]+pay[i][now]<dp[i&1][now][j]){
          	    dp[i&1][now][j]=dp[(i&1)^1][j][ls]+pay[i][now];
          	    sum[i&1][now][j]=sum[(i&1)^1][j][ls]+cnt[now];
            }
            else if (dp[(i&1)^1][j][ls]+pay[i][now]==dp[i&1][now][j])
                sum[i&1][now][j]=min(sum[i&1][now][j],sum[(i&1)^1][j][ls]+cnt[now]);
        }
    }
    rr int ans1=707406377,ans2=0;
    r(i,0,all){
        if (ans1>dp[(n&1)^1][0][i]) ans1=dp[(n&1)^1][0][i],ans2=sum[(n&1)^1][0][i];
            else if (ans1==dp[(n&1)^1][0][i]) ans2=min(ans2,sum[(n&1)^1][0][i]);
    }
    return !printf("%d %d",ans2,ans1);
}