#欧拉函数，整除分块#洛谷 1447 JZOJ 2225 能量采集_欧拉函数×整除分块-优快云博客

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这篇博客探讨了欧拉函数和整除分块在解决洛谷1447与JZOJ 2225题目的能量采集问题中的应用。通过分析原式转换，作者展示了如何利用欧拉定理将问题转化为求和形式，并进一步转换为整除分块的计算。尽管这种方法在效率上可能有限提升，但依然提供了一种解决问题的思路。

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题目

$∑i=1n∑j=1m2×gcd(i,j)−1\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2\times gcd(i,j)-1$

分析

原式= $2×(∑i=1n∑j=1mgcd(i,j))−nm2\times(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j))-nm$
重点就是 $∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)$
$=∑i=1n∑j=1m∑k∣gcd(i,j)φ(k)(欧拉定理)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k|gcd(i,j)}\varphi(k)(欧拉定理)$
$=∑i=1n∑j=1m∑k∣i,k∣jφ(k)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k|i,k|j}\varphi(k)$
$=∑k=1min(n,m)φ(k)⌊nk⌋⌊mk⌋=\sum_{k=1}^{min(n,m)}\varphi(k)\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{k}\rfloor$
那么原式 $=2×∑k=1min(n,m)φ(k)⌊nk⌋⌊mk⌋−nm=2\times\sum_{k=1}^{min(n,m)}\varphi(k)\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{k}\rfloor-nm$
那么就可以用整除分块求解，然而也快不了多少

代码

#include <cstdio>
#define rr register
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,t,ans,phi[100001],v[100001],prime[10001],cnt;
inline void init(int N){
    phi[1]=1;
    for (rr int i=2;i<=N;++i){
        if (!v[i]) phi[i]=(prime[++cnt]=v[i]=i)-1;
        for (rr int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;++j){
            v[i*prime[j]]=prime[j];
            if (i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
                else {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break;}
        }
    }
    for (rr int i=2;i<=N;++i) phi[i]+=phi[i-1];
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    init(t=min(n,m));
    for (rr ll l=1,r;l<=t;l=r+1){
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        ans+=(phi[r]-phi[l-1])*(n/l)*(m/l);
    }
    printf("%lld",2*ans-n*m);
    return 0;
}