#线性动态规划#CH 5104 SGU 167 I-country

题目

在一个$n\times m$的矩阵，找出一个含有k个格子的凸连通块（中间没有空缺），使权值最大，并输出方案

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分析

既然要选出凸连通块且没有空缺，假定选择$l$到$r$行，那么第$i$行($l\le i\le r$)选择的区间$[l_i\dots r_i](l_{i-1}\le l_i\le l_{i+1},r_{i-1}\le r_i\le r_{i+1})$，然而已经很接近了，对于输出方案需要特判，在此不多讲
状态转移方程$$f[row+1][l][r][0/1(左边无/有凸起)][0/1(右边无/有凸起)][占用格子数]=max(f[row][l][r][0/1][0/1][k]+\sum _{i=l}^{r}g[row][i])$$，然后初始化就是=前缀和

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代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define anns pre[mx][lx][rx][lp][rp][k]//存方案的地方（状态压缩）
int f[2][16][16][2][2][226],pre[16][16][16][2][2][226],n,m,k,s[16][16],ans,mxx,lxx,rxx,lpp,rpp;
int in(){//逐字符输入
	int ans=0; char c=getchar();
	while (c<48||c>57) c=getchar();
	while (c>47&&c<58) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
	return ans;
}
int max(int a,int b){return (a>b)?a:b;}
void update(int mx,int lx,int rx,int lp,int rp,int p){
	if (mx==n) return;//已经到了最后一层不需要更新
	for (register int nl=(lp?lx:1);nl<=rx;nl++)//左端点可能会凸起
	for (register int nr=max(lx,nl);nr<=(rp?m:rx);nr++){//右端点可能会凸起
		int t1,t2;
		if (nl==lx) t1=lp; else t1=nl>=lx;//是否存在凸起
		if (nr==rx) t2=rp; else t2=nr>=rx;
		if (f[mx&1^1][nl][nr][t1][t2][p+nr-nl+1]<f[mx&1][lx][rx][lp][rp][p]+s[mx+1][nr]-s[mx+1][nl-1]) //动态规划
		    f[mx&1^1][nl][nr][t1][t2][p+nr-nl+1]=f[mx&1][lx][rx][lp][rp][p]+s[mx+1][nr]-s[mx+1][nl-1],
		    pre[mx+1][nl][nr][t1][t2][p+nr-nl+1]=(lx<<12)+(rx<<8)+(lp<<4)+rp;//记录方案，状态压缩
	}
}
void dp(){
	for (register int mx=1;mx<=n;mx++){
    memset(f[mx&1^1],-1,sizeof(f[mx&1^1]));//初始化为-1
	    for (register int lx=1;lx<=m;lx++)
	    for (register int rx=lx;rx<=m;rx++)
	    for (register int lp=0;lp<2;lp++)
	    for (register int rp=0;rp<2;rp++){
		    f[mx&1][lx][rx][lp][rp][rx-lx+1]=s[mx][rx]-s[mx][lx-1];//前缀和
		    for (register int p=rx-lx+1;p<=k;p++)
		    if (f[mx&1][lx][rx][lp][rp][p]>0){//存在答案
			    update(mx,lx,rx,lp,rp,p);//更改
			    if (p==k&&f[mx&1][lx][rx][lp][rp][p]>ans){//更大的答案
				    ans=f[mx&1][lx][rx][lp][rp][p];
				    mxx=mx; lxx=lx; rxx=rx; lpp=lp; rpp=rp;
			    }
		    }
	    }
    }
}
void print(int ans){if (ans>9) print(ans/10); putchar(ans%10+48);}//逐字符输出
void write(int mx,int lx,int rx,int lp,int rp,int k){
	if (!mx||k<=0) return;//没有格子或者走到底退出
	write(mx-1,(anns>>12)%16,(anns>>8)%16,(anns>>4)%16,anns%16,k-rx+lx-1);//pre数组状态压缩
	for (register int i=lx;i<=rx;i++)
	    print(mx),putchar(' '),print(i),putchar('\n');//输出方案
}
int main(){
	n=in(); m=in(); k=in();
	for (register int i=1;i<=n;i++)
	for (register int j=1;j<=m;j++) s[i][j]=s[i][j-1]+in();//前缀和
	memset(f[1],-1,sizeof(f[1]));//初始化为-1
	dp(); printf("Oil : %d\n",ans);
	write(mxx,lxx,rxx,lpp,rpp,k);//输出方案
	return 0;
}