#四边形不等式，动态规划#codevs 3002 石子归并

最新推荐文章于 2022-06-16 11:51:17 发布

lemondinosaur

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分类专栏：四边形不等式区间dp 文章标签： codevs 3002 石子归并

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四边形不等式

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这篇博客介绍了如何利用四边形不等式优化动态规划问题，具体针对codevs 3002的石子归并题目。通过分析状态转移方程，作者揭示了f数组满足四边形不等式，从而提出非动态规划的解决方案，将时间复杂度降低到O(n^2)，但空间复杂度仍为O(n^2)。博客中还包含了相关代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

非动规方法

分析

原状态转移方程 $f[i][j]=max\{f[i][k]+f[k+1][j]+w(i,j)\}$
其实可以发现，前缀和 $w (i, j)$ 满足四边形不等式，所以也可以发现f数组也是满足四边形不等式的，所以可以记录f数组的最优中间点，时间优化到 $O(n^2)$ ，空间依然是 $O(n^2)$ ，~~这就是非动规方法的好处~~

代码

#include <cstdio>
int a[3001],f[3001][3001],s[3001][3001],n;
int in(){
	int ans=0; char c=getchar();
	while (c<48||c>57) c=getchar();
	while (c>47&&c<58) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
	return ans;
}
int main(){
	n=in(); 
	for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i-1]+in(),s[i][i]=i;
	for (int len=1;len<n;len++)
	for (int i=1;i<=n-len;i++){
		int j=i+len;
		f[i][j]=233333333;
		for (int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++)//从两个离答案最近的中间点求答案
		if (f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+a[j]-a[i-1]){
			f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+a[j]-a[i-1];//动态规划
			s[i][j]=k;//记录最优的中间点
		}
	}
	return !printf("%d",f[1][n]);
}