#单调队列，动态规划#codevs 2417 codevs 3359 洛谷 2569 jzoj 1593 股票交易

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sugar_free_mint/article/details/81707784

本文介绍了一种基于动态规划和单调队列的股票交易策略算法，该算法能够在限制交易频率和持有股票数量的情况下最大化收益。通过调整状态转移方程，算法有效地解决了时间复杂度过高的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

第 $i$ 天的股票买入价为每股 $A P i$ ，第i天的股票卖出价为每股 $B P i$ （数据保证对于每个 $i$ ，都有 $APi≥BPiAPi\geq BPi$ ），规定第 $i$ 天的一次买入至多只能购买 $A S i$ 股，一次卖出至多只能卖出 $B S i$ 股。两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔 $W$ 天，也就是说如果在第 $i$ 天发生了交易，那么从第 $i + 1$ 天到第 $i + W$ 天，均不能发生交易。一个人的手里的股票数不能超过 $M a x P$ 。 $T$ 天以后，问最多获利多少钱

分析

$f [i] [j]$ 表示第 $i$ 天结束后，手里剩下 $j$ 股的最大利润

不买不卖： $f [i] [j] = f [i - 1] [j]$
买入：
$f[i][j]=max⁡(f[i−w−1][k]−ap[i]∗(j−k))f[i][j]=\max(f[i-w-1][k]-ap[i]*(j-k))$
$(j−as[i]≤k<j)(j-as[i]\leq k<j)$
卖出：
$f[i][j]=max⁡(f[i−w−1][k]+bp[i]∗(k−j))f[i][j]=\max(f[i-w-1][k]+bp[i]*(k-j))$
$(j<k≤j+bs[i])(j<k\leq j+bs[i])$

但是问题是 $O(TW^2)$ 会超时，那么改一改

买入：
$f[i][j]=max⁡(f[i−w−1][k]+ap[i]∗k)−ap[i]∗jf[i][j]=\max(f[i-w-1][k]+ap[i]*k)-ap[i]*j$
卖出：
$f[i][j]=max⁡(f[i−w−1][k]+bp[i]∗k)−bp[i]∗jf[i][j]=\max(f[i-w-1][k]+bp[i]*k)-bp[i]*j$

那么就可以用单调队列来解决，求出最优的k

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,maxp,w,ap[2001],bp[2001],as[2001],bs[2001],f[2001][2001],q[2001];
int in(){
	int ans=0; char c=getchar();
	while (c<48||c>57) c=getchar();
	while (c>47&&c<58) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
	return ans;
}
int max(int a,int b){return (a<b)?b:a;}
int main(){
	n=in(); maxp=in(); w=in(); memset(f,-0x7f,sizeof(f));
	for (int i=1;i<=n;i++) ap[i]=in(),bp[i]=in(),as[i]=in(),bs[i]=in();
	for (int i=0;i<=n;i++) f[i][0]=0;//没有股票为0
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=0;j<=as[i];j++) f[i][j]=-ap[i]*j;//买了该股票花钱
		for (int j=maxp;j>=0;j--) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);//不买股票
		if (i>w){//可以交易
			int head=1,tail=0;
			for (int j=0;j<=maxp;j++){
			    while (head<=tail&&q[head]<j-as[i]) head++;//股票数量不够
			    while (head<=tail&&f[i-w-1][j]+ap[i]*j>=f[i-w-1][q[tail]]+ap[i]*q[tail]) tail--;//更优的答案
		        q[++tail]=j;
		        if (head<=tail) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][q[head]]-ap[i]*(j-q[head]));//dp
			}
			head=1; tail=0;
			for (int j=maxp;j>=0;j--){
				while (head<=tail&&q[head]>j+bs[i]) head++;//股票不够
				while (head<=tail&&f[i-w-1][j]+bp[i]*j>=f[i-w-1][q[tail]]+bp[i]*q[tail]) tail--;//更优的答案
				q[++tail]=j;
				if (head<=tail) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][q[head]]+bp[i]*(q[head]-j));//dp
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for (int i=0;i<=maxp;i++) ans=max(ans,f[n][i]);//找到最好的答案
	return !printf("%d",ans);
}

PS：SSL 1943 vijos new_bzoj