#斜率优化，单调队列#洛谷 2120 BZOJ 1096 仓库建设-优快云博客

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本文探讨了在动态规划(DP)中应用凸包优化来提高算法效率的方法。通过维护下凸壳，使得DP状态转移方程能在O(logn)的时间复杂度内完成。文章详细解析了如何通过前缀和技巧简化DP方程，并给出了完整的C++实现代码。

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分析

dp方程显然是
$dp[i]=\min\{dp[j]+\sum_{k=j+1}^ip[k](x[i]-x[k])\}+c[i]$
考虑维护 $p [i] x [i], p [i]$ 的前缀和 $s, s u m$ ，那么式子可以化成
$dp[i]=\min\{dp[j]+x[i](sum[i]-sum[j])-(s[i]-s[j])\}$
若 $k (j < k)$ 更优于 $j$ ，那么
$d p [j] + x [i] (s u m [i] - s u m [j]) - (s [i] - s [j]) > d p [k] + x [i] (s u m [i] - s u m [k]) - (s [i] - s [k])$
那么简化可以得到
$d p [j] - x [i] s u m [j] + s [j] > d p [k] - x [i] s u m [k] + s [k]$
那么 $d p [k] - x [i] s u m [k] + s [k] < d p [j] - x [i] s u m [j] + s [j]$
$\frac{dp[k]-dp[j]+s[k]-s[j]}{sum[k]-sum[j]}<x[i]$
由于距离是单调递增的，所以维护下凸壳

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
using namespace std;
const int N=1000001;
int n,dis[N],q[N],c[N]; long long sum[N],s[N],dp[N];
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
inline double slope(int j,int k){
	return 1.0*(dp[k]+sum[k]-dp[j]-sum[j])/(s[k]-s[j]);
}
signed main(){
	n=iut();
	for (rr int i=1;i<=n;++i){
		dis[i]=iut(),sum[i]=iut(),c[i]=iut(),
		s[i]=s[i-1]+sum[i],sum[i]=sum[i-1]+sum[i]*dis[i];
	}
	rr int head=1,tail=0; q[++tail]=0;
	for (rr int i=1;i<=n;++i){
		while (head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<dis[i]) ++head;
		dp[i]=dp[q[head]]+c[i]+(s[i]-s[q[head]])*dis[i]-sum[i]+sum[q[head]];
		while (head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail])>slope(q[tail],i)) --tail;
		q[++tail]=i; 
	}
	return !printf("%lld",dp[n]);
}