初等变换不改变矩阵的秩的证明

墨衍会员 · AI 创作全网分发 墨衍智能分发 本文由作者通过墨衍一键同步至各平台 1分发平台 2.5k累计阅读 2.6k平均单平台已同步平台优快云微信公众号微博知乎掘金百家号博客园抖音小红书 你的文章也可以这样分发 墨衍会员 ¥399起/年，写一次发全网我也要 → 码龄19年

关注

转载最新推荐文章于 2026-08-12 07:26:31 发布 2.5k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

百度安全验证

收录于

矩阵论

当前文章被收录于：

矩阵论

11 篇文章 1 人学习

订阅专栏查看详情

当前文章被以下社区和专栏收录：

标签

#矩阵 #线性代数

原文链接：https://baijiahao.baidu.com/s?id=1708952089897340327&wfr=spider&for=pc>

λ-矩阵（λ-矩阵在初等变换下的标准形）设P是一个数域，λ是一个文字，做多项式环一个矩阵，如果它的元素是λ的多项式，即的元素，就称为λ-矩阵。把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。定义1：如果λ-矩阵中有一个级子式不为零，而所有r+1级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为r，零矩阵的秩规定为零。定义2：一个的λ-矩阵称为可逆的，如果有一个的λ-矩阵使这里E使n 级单位矩阵，适合（1）的矩阵（它是唯一的）称为的逆矩阵，记为 ... 阅读详情

相关推荐

初等变换 3 大性质与广义变换：矩阵秩不变的 4 个关键证明

本文深入探讨了初等变换的三大性质与广义变换，详细证明了矩阵秩不变的四个关键机理。通过可逆性分析、行空间保持定理及分块矩阵秩公式等核心论证，揭示了初等变换不改变矩阵秩的本质原因，并提供了Python代码验证和常见误区解析，为线性代数理论学习和实际应用提供重要参考。

weixin_30607029的博客 620

初等变换及其性质

和是线性代数中用于变换矩阵的一组操作，它们不会改变矩阵的秩或解空间的结构。这些操作允许我们将矩阵化简成标准形式（如行最简形、Smith 标准型等），同时保持矩阵的基本性质不变。初等行变换作用于矩阵的行，而初等列变换作用于列。

m0_53605808的博客 4129

视觉SLAM 第7讲本质矩阵基础矩阵单应矩阵知识点/证明/理解/秩/自由度

本质矩阵基础矩阵单应矩阵证明/理解/秩/自由度

CSSDCC的博客 5460

秩的11个常用不等式（完全证明）——考试必考，面试必问2

秩的不等式思路本文默认读者了解矩阵秩的多种定义。如果不了解，也没关系，可以先移步博主的**本篇文章**。思路1：证明秩相等，考虑证同解方程组构造(Ⅰ) AX=0⃗AX = \vec{0}AX=0 （Ⅱ）BX=0⃗BX = \vec{0}BX=0 。（A,BA,BA,B 列数相同）若(Ⅰ)（Ⅱ）同解（两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组），则(Ⅰ)（Ⅱ）各自的基础解析等价，从而 n−r(A)=n−r(B)⇒r(A)=r(B)n-r(A) = n-r(B) \Righta

OrdinaryMatthew的博客 3万+

矩阵秩证明与数值方法应用解析

本博客围绕矩阵行秩与列秩相等的证明、矩阵变换对数据响应的影响分析、理查森外推法的原理与特性、样条函数在恒化器模拟中的应用、离散控制器的模拟实现以及考虑反应热的热固性聚合物反应模拟六个问题展开。重点阐述了矩阵奇异值与变换效果的关系、理查森外推法提升精度的机制、样条插值在数据拟合中的作用、以及偏微分方程中源项更新对求解过程的影响。

yellow的专栏 1661

第三章矩阵的初等变换与线性方程组概念详解

weixin_63026364的博客 8659

【线代】为什么初等行变换不改变列向量/行向量的线性相关性？特征方程的简便设法？

线代中其他的一些遗留小问题，后续可能会更新。 1. 初等行变换不改变什么？（初等列变换同理） 2. 特征方程的简便设法。 3. 典型错题

多学，多想，多总结 4万+

保姆级教程：IAR for STM8 3.11版本安装与破解全流程（附资源包）

本文提供IAR for STM8 3.11版本的详细安装与破解教程，涵盖环境准备、主程序安装、许可配置及实战验证全流程。针对新手常见问题，如许可证报错、驱动安装失败等，给出了具体解决方案，帮助开发者快速搭建稳定的STM8开发环境。

study的专栏 952

将矩阵转为一行_初等变换不会改变矩阵的秩

换法变换情况一：如下图所示，若矩阵A的秩为r，任取一个矩阵A的r+1阶零子式（阴影部分），将A的第一行与第六行交换变为B矩阵，对于因为交换A的第一行与第六行交换变成B没有碰到r+1阶零子式，所以互换两行不改变A的秩情况二：如下图所示，若矩阵A的秩为r，任取一个矩阵A的r+1阶零子式（阴影部分），将A的第二行与第三行交换变为B矩阵，因为交换A的第二行与第三行交换变成B，则B阴影部分与A的阴影部分只相...

weixin_35695652的博客 1094

涨姿势|小众建模软件Make human,MakeClothes插件使用详解教程（2）

衣服可以从头开始建模，或者通过改变人体网格或由MakeClothes工具提供的“服装助手”（见下文）来建模。在设计和建模一件衣物时，应该记住两个限制。首先，将服装网格映射到人体网格的算法要求服装网格完全由四面体组成。其次，知道MakeClothes每件衣服只支持一种材料是很重要的。完成MakeClothes工作流程后，您的HOME / makehuman / v1 / data / clothes中的工具将创建一个新文件夹。该文件夹将采用用户为服装项目提供的唯一名称。该文件夹将填充必要的资源，以使该项目在

Crazy_in_3Dmax的博客 1874

操作系统期末大题类型题解

额，OS主要这回考程序分析题，PV操作、生产者消费者啊，哲学家进餐问题，死锁问题啊，如何避免死锁，经典银行家算法，页面置换算法啥的，磁盘调度......总计还有很多，就不一一说了 PV操作谈到PV操作，首先要了解什么是信号量，其实就是用来解决互斥与同步问题的，分为原语wait（S）和signal（S），也就是我们常说的PV操作，在这里给出王道上的概念 wait(S){ while(S>0) S=S-1; } signal(S){ S=S+1; } 记录型信号量

ZXxxiaoxuan的博客 792

线性代数：第三章矩阵的初等变换与线性方程组（1）矩阵的初等变换 矩阵的秩

第一节矩阵的初等变换 一. 数学概念等价关系具有的性质： (i)　反身性　A~A; (ii) 对称性　若A~B,则B~A; (iii) 传递性　若A~B, B~C,则A~C; 二. 重点，难点分析本节的重点是用矩阵的初等变换将矩阵化为行(列)阶梯形矩阵、最简型矩阵和标准形矩阵。行(列)阶梯形矩阵对于我们下节学习矩阵的秩是至关重要的，最简形矩阵对于今后学习方程组求解是非

GarfieldEr007的专栏 6327

如何构建智能聊天系统

聊天分为听、思考、读，简单的通过ASR、LLM、TTS三类模型的组合可以实现，最近openai推出支持多模态的GPT-4o模型，可以把三个模型真正融合成在一起。现在市面上的模型百花齐放，各有所长。要实现可落地的方案，需要结合业务，验证模型效果，同时也要考虑方案的可行性，有些模型在国内能用，有些在国内不能用。

xsgnzb的专栏 2108

线性代数学习教程，从入门到精通，矩阵的初等变换与线性方程组(5）

矩阵的初等变换包括互换、倍乘和倍加三种基本操作，分为行变换和列变换。矩阵等价具有反身性、对称性和传递性。初等矩阵由单位矩阵经一次初等变换得到，具有可逆性且逆矩阵仍是初等矩阵。通过初等变换可将矩阵化为行阶梯形和行最简形，其中非零行数即为矩阵的秩。矩阵的秩定义为非零子式的最高阶数，初等变换不改变矩阵的秩。任何矩阵都存在等价标准形，秩的计算可通过高斯-约当消元法实现。

qq_45746668的博客 339

网卡Inter (R) Wi-Fi 6 AX201突然故障错误代码10，无法找到无线网络，蓝牙也无效了

问题描述说来也是坑，简直就莫名其妙。早上在工位上，电脑一切正常（一直用的是无线网络），然后周五准备开周会了，所以拔掉电脑外接设备（电源线，鼠标，外接显示器）拿起电脑到会议室。到了会议室之后，无线网断开了（但一般是不会断开的，都在公司范围内），所以选择重连，但发现已经没有无线网络列表了。电脑机型：联想YOGA 14s 2021 初步尝试 1、关闭开始飞行模式 - 无果 2、重启并重启（因为前两天已经提醒过有windows更新，趁这个机会就更新并重启了）- 无果 3、下载鲁大师、驱动精灵、联想驱动管

疯狂的蜗牛 5万+

手把手教你玩转服务器芯片架构专栏--3.5 实战案例：用SystemC搭建一个多核服务器芯片的NoC模型（含流量分配与延迟仿真）

通过SystemC搭建多核NoC模型，可深入验证流量分配策略与延迟特性。实际工程中需结合FPGA原型验证（如Xilinx Alveo）进行时序收敛分析，并通过参数化设计适配不同服务器芯片需求。

MHD0815的博客 3043

线性代数知识点总结

线性代数主要有两条主线 1.是解线性方程组 2.特征值和二次型问题将这几天所学总结一下 1. ∣AB∣=∣A∣∣B∣(A和B都为n阶方阵)|AB|=|A||B| \\ (A和B都为n阶方阵)∣AB∣=∣A∣∣B∣(A和B都为n阶方阵) 这个公式起初我理解不了，在网上找到一个好理解的证明过程分两种情况 (i)若∣A∣=0,则r(A)<nr(AB)<n∣AB∣=∣A∣∣B∣=0\begin{aligned} (i)若|A|=0,则r(A)<n\\ r(AB)<n\\ |AB|=|A

weixin_44448227的博客 1256

如何让 Mac mini 24小时不休眠运行 OpenClaw

如果 OpenClaw 每 5-10 分钟自动退出，launchd 连续 4 次快速重启后会判定为崩溃循环并卸载服务。：方案一（pmset）+ 方案三（launchd）组合使用，既防止系统休眠，又保证 OpenClaw 开机自启和崩溃自动恢复。：caffeinate 只在进程运行期间有效，终端关闭或进程结束后系统恢复正常睡眠策略。这条命令会自动创建 launchd plist 并启用服务，是最推荐的方式。替换为你的实际用户名路径，Node.js 路径也要改成你自己的。确保 plist 中有。

Maynor的博客 2203

矩阵分解（三）——满秩分解

目录矩阵相关术语秩、满秩矩阵初等变换初等矩阵阶梯型矩阵初等矩阵求逆满秩分解（法1）满秩分解（法2）矩阵相关术语秩、满秩设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目，通常表示为r(A)或rank A。满秩：m × n矩阵的秩为m和n中的较小者。（设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵）性质 初等变换不改变矩阵的秩如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B) 矩阵的乘积的秩Rab&

小白一直白 3万+

【微信小程序-uniapp】CustomPicker 自定义单项选择器组件

自定义底部弹出框单项选择器组件，适用于uniapp小程序

Komorebi_00的博客 1532

老版QQ原生表情gif动态

这是老版的QQ表情，不过全是动态的的，Windows照片查看器是不会动的，可以右击用浏览器打开查看，再说一遍是老版的，只是分享给宁愿用老版也要动态的人。

线性代数｜矩阵的秩的性质

线性代数学习笔记

长行 1万+

VC中sqlite的使用

在VC中对sqlite的使用，实现数据库大批数据的快速插入，读取数据库中的数据在ListCtrl中显示

证明矩阵的秩=行秩=列秩

文章目录一、部分概念的定义二、概念间的联系三、定理的推导与证明一、部分概念的定义维数：一个向量空间VVV的基所含向量的个数叫做VVV的维数极大线性无关组：若向量组{α1,α2,…,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}{α1,α2,…,αn}的一个部分向量组{αi1,αi1,…,αir}\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}\}{αi1,αi1,…,αir}被称为一个极大线性无关

weixin_43558910的博客 1万+

jdk-8u144-linux-x64.tar.gz.

该资源为搭建Linux系统Java环境用，资源的后缀为tar.gz格式的压缩包

汉书HE8，好用的汇编代码编写工具

汉书HE8，好用的汇编代码编写工具早期编写汇编代码所用功能强大

可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数_常见的矩阵秩(不)等式及其各种证明

这篇是承接非平凡的理想：线性空间直和分解随笔zhuanlan.zhihu.com都属于线性代数范畴的内容，在考研，无论是数学一二三或者高等代数中会经常用到甚至出现类似的题目。自己觉得有必要归纳起来，也可也帮助有需要的人。符号说明：：矩阵的秩：阶单位矩阵：域上线性空间的维数：域上线性空间到的全体线性映射：线性变换的核：线性变换的象：线性变换在 ...

weixin_34708196的博客 4798

机器学习——低秩矩阵分解中低秩的意义、矩阵填补、交叉验证

在研读论文《Matrix completion by deep matrix factorization》时，遇到了一些不明白的知识点，花费了大量时间在网上查阅相关资料，终于找到了能够让自己一看就一目了然的博文，下面的内容是我对所看到博文的一些修正总结。写这篇博文主要是为了以后查阅知识点能够更加方便快捷，也给予了自己要向所参考博文博主学习的希冀以及动力。当然，如果也能给大家带来方便...

manduner的博客 4万+

两矩阵相乘的秩的性质_线性代数精华——讲透矩阵的初等变换与矩阵的秩

这篇文章和大家聊聊矩阵的初等变换和矩阵的秩。矩阵的初等变换这个概念可能在很多人听来有些陌生，但其实我们早在初中的解多元方程组的时候就用过它。只不过在课本当中，这种方法叫做消元法。我们先来看一个课本里的例子：假设我们要解这个方程，怎么做呢？首先，我们把(1)式加到(2)式，把(4)式加到(3)式，把(1)式乘6加到(4)式可以得到：我们再把(4)式减去(2)式乘5，可以解出x4=−3：我们把x4=−...

weixin_39824898的博客 1万+

矩阵乘积的秩定理

矩阵乘积的秩定理两个矩阵乘积的秩不大于其每个因子的秩；特别的当其中一个因子可逆时，那么乘积的秩等于另一个因子的秩。证明假设 A是一个m x n的矩阵，B是一个n x s的矩阵， r是A的秩。若s<rs\lt rs<r,自然秩AB≤秩AAB \le 秩AAB≤秩A. 所以主要讨论s≥rs\ge rs≥r, 通过对A进行初等变换可以得到 E1E2...EpAEp+1...Eq=A‾=(Ir 00 0) E_1E_2...E_pAE_{p+1}...E