视觉SLAM 第7讲 本质矩阵 基础矩阵 单应矩阵 知识点/证明/理解/秩/自由度

1. 基础知识

1. 定义：矩阵$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作$rank(A)$。也有另一种理解，矩阵A在经过初等变换后的非零行（列）的个数为矩阵的秩；
2. 性质：
   1. 一个矩阵乘以可逆矩阵秩不改变
   2. 矩阵的秩等于非零奇异值的个数，也就是非零特征值的个数
   3. 可逆矩阵秩等于n
3. 矩阵自由度DOF的理解​

2. 本质矩阵E

本质矩阵Essential Matrix为对极约束里的定义矩阵，本质矩阵描述了空间中一点对应的两个归一化平面坐标之间的约束关系。对极约束：
​ x 2 ⊤ t ∧ R x 1 = 0 p 2 ⊤ K − ⊤ t ∧ R K − 1 p 1 = 0 \begin{aligned} x^\top_2t^\wedge Rx_1 = 0 \\ p^\top_2K^{-\top}t^\wedge RK^{-1}p_1 = 0 \end{aligned} x2⊤​t∧Rx1​=0p