λ-矩阵（λ-矩阵在初等变换下的标准形）

最新推荐文章于 2025-05-14 08:00:15 发布

橘子蜂蜜

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分类专栏：高等代数

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本文介绍了λ-矩阵的概念，包括其定义、秩的定义、可逆矩阵的条件及其逆矩阵的计算。重点讨论了λ-矩阵的初等变换，如行交换、行乘常数和行加法，并探讨了初等变换的性质和等价关系。通过引理和定理，证明了非零λ-矩阵可以通过初等变换转化为标准形，为后续的矩阵分析提供了理论基础。

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设P是一个数域，λ是一个文字，做多项式环 $P[\lambda].$ 一个矩阵，如果它的元素是λ的多项式，即 $P[\lambda]$ 的元素，就称为λ-矩阵。把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。

定义1：如果λ-矩阵 $A(\lambda)$ 中有一个 $r(r\geqslant 1)$ 级子式不为零，而所有r+1级子式（如果有的话）全为零，则称 $A(\lambda)$ 的秩为r，零矩阵的秩规定为零。

定义2：一个 $n\times n$ 的λ-矩阵 $A(\lambda)$ 称为可逆的，如果有一个 $n\times n$ 的λ-矩阵 $B(\lambda)$ 使 $A(\lambda)B(\lambda)=B(\lambda)A(\lambda)=E,(1)$ 这里E使n 级单位矩阵，适合（1）的矩阵 $B(\lambda)$ （它是唯一的）称为

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