两矩阵相乘的秩的性质_线性代数精华——讲透矩阵的初等变换与矩阵的秩

这篇文章和大家聊聊矩阵的初等变换和矩阵的秩。

矩阵的初等变换这个概念可能在很多人听来有些陌生，但其实我们早在初中的解多元方程组的时候就用过它。只不过在课本当中，这种方法叫做消元法。我们先来看一个课本里的例子：

假设我们要解这个方程，怎么做呢？

首先，我们把(1)式加到(2)式，把(4)式加到(3)式，把(1)式乘6加到(4)式可以得到：

我们再把(4)式减去(2)式乘5，可以解出x4=−3：

我们把x4=−3带入，可以解出x1, x2, x3。

因为消元之后，方程组的数量少于变量的数量，我们无法解出所有的变量。其中的x3可以取任何值。

上面这个计算的方法我们都非常熟悉，如果我们用一个矩阵来表示所有的次数，那么这个矩阵D可以写成：

那么，我们刚才消元的过程，其实就是对这个矩阵做初等变换。我们把这个过程总结一下，矩阵的初等变换操作包含以下三种：

1. 对调两行