24、基于重尾分布的 Mittag - Leffler 函数在生物数据集上的应用

基于重尾分布的 Mittag - Leffler 函数在生物数据集上的应用

1. 引言

在许多应用中，对于一些函数的评估存在一定的挑战。例如，$E_{a;b}(z)$ 和 $E_{g}^{a;b}(z)$ 在理论上可通过截断级数来计算，但当遇到中等或大模数 $|z|$ 时，级数收敛缓慢，需要大量的计算。在有限精度算术的科学计算中，这种方法存在一定的局限性。因此，探索不同的技术来准确、快速地在复平面上进行计算变得十分必要。

2. 重尾分布介绍

2.1 Mittag - Leffler 分布

Mittag - Leffler 函数 $E_{a}(y)$ 由 Pillai 根据分布函数或累积密度函数（cdf）定义，公式如下：
[f(x; a) = 1 - E_{a}(-y^{a}) = \sum_{k = 1}^{N} \frac{(-1)^{k - 1}(ka) \cdot x^{ka - 1}}{\Gamma(ak + 1)}, x > 0, 0 < a \leq 1]
当 $a = 1$ 时，Mittag - Leffler 分布退化为均值为 1 的指数分布，它是指数分布的推广。该分布具有多种形状，如在 0 处有唯一模式的非递增模式、有一个或两个非零模式的单峰模式等，还具有许多分布性质，如概率分布函数（pdf）、cdf 的递推关系、离散指数、分类、生成函数、不同类型矩的公式以及可靠性性质等。

2.2 Pareto 分布

随机变量遵循 Pareto 分布的条件是其尾部模式如下：
[PD(U) =
\begin{cases}
1 - (\frac{b}{U})