9、密码学中的数学结构与攻击方法

密码学中的数学结构与攻击方法

1. 格的基本概念

格在数学中有两种不同的定义，这里主要指数论中的格。格可以被看作是 $n$ 维空间中规则排列的点集。以下是两种常见的格的定义：
- 离散加法子群定义 ：格是 $\mathbb{R}^n$ 的一个离散（加法）子群，即一个非空子集 $L \subseteq \mathbb{R}^n$，满足对于任意的 $(x, y) \in L^2$，都有 $x - y \in L$，并且存在一个实数 $\rho > 0$，使得当 $x \in L$ 且 $|x| \leq \rho$ 时，$x$ 为零向量。根据这个定义，$\mathbb{Z}^n$ 显然是一个格。
- 整数线性组合定义 ：格是 $\mathbb{R}^n$ 中一组 $\mathbb{R}$ - 线性无关向量的所有整数线性组合的集合。如果 $b_1, \ldots, b_d$ 是线性无关的，那么 $L = {\sum_{i = 1}^{d} n_i b_i | n_i \in \mathbb{Z}}$ 是一个格，$[b_1, \ldots, b_d]$ 被称为 $L$ 的一个基。

这两种定义是等价的。格的基不是唯一的，但它们的元素个数相同，这个个数被称为格的维度或秩。格的体积或行列式 $vol(L)$ 或 $det(L)$ 定义为一个 $d \times d$ 行列式的平方根，这个行列式只与格本身有关，而与基的选择无关。格在计算机科学，特别是密码学中有很多应用。

2. 格基约化

格基约化的目标是找到格的一些有用的基。从数学角度，人们希望证明存在至少一个满足强性质的