65、基于粒子的近似推理与对应问题研究

基于粒子的近似推理与对应问题研究

1. 提议分布

在之前的分析中，对提议分布没有任何限制，只要其支配目标分布 $P$，就可以选择合适的提议分布 $Q$。不过，提议分布有两个主要的期望特性需要牢记：一是能够轻松从 $Q$ 中生成样本，二是 $Q$ 与目标分布 $P(X_p | e)$ 具有相似性。

对于完整粒子的情况，所使用的提议分布至少在一定程度上试图满足这两个期望特性。而对于塌缩粒子的情况，需要对提议分布进行推广。

目标是从分布 $Q(X_p)$ 中生成粒子。按照完整粒子情况的模板，会从每个未观察变量 $X \in X_p$ 的条件概率分布（CPD）中进行采样。之所以能执行这个过程，是因为在采样 $X_i$ 之前，会先仔细采样其父母节点，从而使得采样 $X$ 的分布是唯一确定的。但在塌缩的情况下，$X$ 的父母节点 $Pa_X$ 可能不在集合 $X_p$ 中，这样在采样 $X$ 时就没有它们的值。例如，在示例中，就不清楚如何为变量 $G$ 定义采样分布。

最简单的方法是选择网络中节点的一个向上封闭子集作为 $X_p$。例如，选择 $X_p$ 由变量 $C$、$D$、$I$、$G$ 组成。这种算法变体非常接近完整粒子似然加权。此时，可以对变量进行排序，使得每个未观察变量可以使用其原始的 CPD 进行采样，使用之前采样得到的其父母节点的赋值。每个观察变量 $X_i$ 则像标准似然加权那样，从一个将其观察值 $e_p\langle X_i\rangle$ 的概率设为 1 的残缺网络中“采样”。这种情况下重要性权重的计算很直接：首先使用与标准似然加权完全相同的增量计算方法，计算对应于 $P(x_p, e_p)/Q(x_p)$ 的重要性权重部分；然后在以 $x_p$