84、时序模型中的近似推理方法详解

时序模型中的近似推理方法详解

1. 样本数量选择

在时序模型的推理中，我们可以选择使用固定数量的样本，也可以根据启发式估计来调整样本数量，以达到特定的近似质量。

2. 引导滤波（Bootstrap Filter）

引导滤波是粒子滤波中最简单且最常见的一种变体。它维护一个包含 $M$ 条时间 $t$ 轨迹 $\overline{x}(0:t)[m]$ 的集合 $D(t)$，每条轨迹都有其对应的权重 $w(t)[m]$。

当将样本传播到下一个时间片时，每个样本被选中进行传播的概率与其当前权重成正比。权重越高的样本越有可能被选中传播，可能会“衍生”出多个副本；而权重较低的样本则可能“消亡”，为其他样本腾出空间。

从形式上看，数据集 $D(t)$ 生成的经验分布为：
$\hat{P} {D(t)}(x(0:t)) \propto \sum {m=1}^{M} w(t)[m] \mathbb{1}{\overline{x}(0:t)[m] = x(0:t)}$
这个分布是狄拉克分布的加权和，每个赋值的概率是其在 $D(t)$ 中的总权重，经过重新归一化后总和为 1。

引导滤波算法生成时间 $t + 1$ 的 $M$ 个新样本的步骤如下：
1. 对于每个样本 $m$，从 $\hat{P}_{D(t)}$ 中随机采样一个时间 $t$ 的样本用于传播。
2. 使用转移模型，由每个选中的时间 $t$ 样本生成一个新的时间 $t + 1$ 样本，并使用观测模型对其进行加权。

需要注意的是，在确定从时间 $t$ 样本生成的时间 $t + 1$ 样本的权重时，不需要考虑其