67、基于粒子的近似推理及相关练习解析

基于粒子的近似推理及相关练习解析

1. 分区函数与对应问题

在模型学习中，分区函数的计算是衡量学习模型整体质量的一个重要方面。直接对分布进行采样来计算分区函数会导致估计的方差较高，因为这些估计通常由少量具有高非归一化概率的样本主导。为避免这个问题，通常会计算分区函数的比率。

在计算物理和计算化学领域，针对自由能差异或分区函数比率的等效问题，已经提出了一系列方法，包括自由能微扰、热力学积分、桥采样、伞形采样和Jarzynski方程等。这些方法本质上都是重要性采样算法。

对应问题也有广泛的研究，它有多种表现形式，如数据关联、记录匹配、身份解析等。一些学者提出了不同的解决方法：
- Pasula等人（1999）首次提出在目标跟踪中使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法对可能的关联空间进行采样。
- Dellaert等人（2003）在计算机视觉的运动结构任务中使用MCMC解决数据关联问题，并提出了更复杂的提议分布以实现更快速的混合。
- Anguelov等人（2004）建议在对应关系相互关联的情况下使用信念传播来解决对应问题。

2. 相关练习解析

2.1 练习12.1

考虑附录A.2中定义的变量序列$T_n$。给定$\epsilon$和$\delta$，定义$m(\epsilon, \delta) = \min_n P(|T_n - p| \geq \epsilon) \leq \delta$为确保偏离$p$的$\epsilon$个标准差的概率小于$\delta$所需的最小试验次数。虽然不能精确计算$m(\epsilon, \delta)$，但可以使用之前讨论的边界来给出其上界。