49、游戏支配数遗传性的进一步进展

游戏支配数遗传性的进一步进展

在图论中，无减图（no - minus graphs）的研究是一个重要的课题，特别是在涉及边和顶点删除操作对游戏支配数的影响方面。下面将详细探讨这些操作在无减图中的具体情况。

无减图的边和顶点移除

边移除

在无减图中移除一条边时，其游戏支配数的变化是有规律的。可以证明，从无减图中移除一条边，其游戏支配数的增加或减少最多为 1。

定理表明，如果 $G$ 是一个无减图，$e \in E(G)$，那么有：
- $\vert\gamma_g(G) - \gamma_g(G - e)\vert \leq 1$
- $\vert\gamma’_g(G) - \gamma’_g(G - e)\vert \leq 1$

下面来详细证明 $\gamma_g(G) \leq \gamma_g(G - e) + 1$：
- 要证明这一点，只需说明支配者（Dominator）在图 $G$ 上有一个策略，使得游戏最多进行 $\gamma_g(G - e) + 1$ 步。
- 两个玩家在图 $G$ 上进行支配者先手的游戏，同时支配者想象在图 $G - e$ 上进行一个最多 $\gamma_g(G - e)$ 步的支配者先手游戏。
- 支配者的策略如下：他将斯塔勒（Staller）在实际游戏中的每一步复制到想象的游戏中，并在 $G - e$ 中做出最优响应。然后将想象游戏中的每一个最优响应复制回图 $G$ 的实际游戏中。
- 设 $e = uv$，如果支配者和斯塔勒的每一步都是合法的，那么实际游戏最多进行 $\gamma_g(G - e)$ 步。
- 假设在第 $k$