24、图中最小基数最大唯一受限匹配的复杂性探讨

图中最小基数最大唯一受限匹配的复杂性探讨

1. 引言

在图论领域，匹配问题一直是研究的热点。对于图 (G = (V, E))，若集合 (M \subseteq E) 中任意两条边都不共享一个公共顶点，则称 (M) 为图 (G) 中的一个匹配。当图 (G) 中由匹配 (M) 饱和的顶点所诱导的子图 (G[S]) 里，不存在与 (M) 具有相同基数的其他匹配时，(M) 被称为唯一受限匹配。这一概念最早由 Golumbic 等人在 2001 年提出，他们还利用交替循环对任意图上的唯一受限匹配进行了刻画，即图 (G) 中的匹配 (M) 是唯一受限的，当且仅当 (G) 不包含关于 (M) 的交替循环。

唯一受限匹配 (M) 若不被图 (G) 中的其他唯一受限匹配所包含，则称其为最大唯一受限匹配。最大基数的最大唯一受限匹配被称为最大最大唯一受限匹配，也称为最大唯一受限匹配，该问题在文献中已有较多研究。而最小基数的最大唯一受限匹配则被称为最小最大唯一受限匹配，求解给定图中最小最大唯一受限匹配的问题，即最小最大唯一受限匹配（Min - UR - Matching）问题。

最小最大唯一受限匹配问题及其决策版本的定义如下：
- Min - UR - Matching 问题（MUMP）
- 实例 ：图 (G = (V, E))。
- 解 ：图 (G) 中的最大唯一受限匹配 (M)。
- 度量 ：集合 (M) 的基数。
- Min - UR - Matching - Decision 问