23、并行磁盘检索问题与k边连通性问题的近似算法研究

并行磁盘检索问题与k边连通性问题的近似算法研究

1. 并行磁盘检索问题

在并行磁盘检索问题中，主要涉及到RP1和RP2两个问题。

1.1 RP1问题的持续性

在整数规划中，当问题松弛后的整数值变量在最优解中保持相同整数值的现象被称为持续性。对于RP1的无权版本（即所有作业权重为1），具有一种有趣的持续性。

• 引理1 ：存在RP1的一个最优解，使得在LP松弛的最优解中被分配的每个小作业（即对于某些 $i \in M(j)$ ，$x_{ji} = 1$），在该最优解中也被分配。
  • 证明 ：采用反证法。假设没有最优解分配LP松弛中分配的所有小作业。考虑一个具有最多与LP松弛中相同机器上小作业数量的最优解。由于假设，存在一个在LP松弛中被分配但在该最优解中未出现的小作业 $j$。设 $i$ 是LP松弛中 $j$ 被分配的机器，显然该机器在最优解中没有空闲容量。最优解中分配到机器 $i$ 的作业中，至少有一个作业 $j’$ 在LP松弛中未出现在该机器上。用 $j$ 替换 $j’$ 会增加在最优解和LP松弛中具有相同机器的小作业数量，这与假设矛盾。因此，存在一个最优解分配LP松弛中分配的每个小作业。
• 引理2 ：存在RP1的一个最优解，使得在LP松弛的最优解中未被分配的每个小作业（即对于每个 $i \in M(j)$ ，$x_{ji} = 0$），在该最优解中也未被分配。
  • 证明 ：采用反证法。假设