18、图论中的反魔法标记与近似字符串匹配问题

图论中的反魔法标记与近似字符串匹配问题

1. 反魔法标记相关内容

1.1 广义彼得森图的反魔法性

广义彼得森图 (GP(n, k)) 定义为：顶点集 (V (GP(n, k)) = {u_i, v_i| 1 ≤ i ≤ n})，边集 (E(GP(n, k)) = {u_iu_{i + 1}, u_iv_i, v_iv_{i + k}| 1 ≤ i ≤ n})（下标取模 (n)）。这里 (u_1, u_2, \cdots, u_n) 构成外循环，(v_1, v_2, \cdots, v_n) 构成内循环。

所有广义彼得森图都是 3 - 正则图，有 (2n) 个顶点和 (3n) 条边，并且存在完美匹配 ({u_iv_i| 1 ≤ i ≤ n})。由于相关定理，可得出推论：每个广义彼得森图 (GP(n, k)) 都是反魔法的。例如，给出了 (GP(5, 2)) 和 (GP(6, 2)) 的反魔法标记示例。

1.2 奇数正则图的反魔法标记

对于奇数度的正则图，有如下重要定理：
- 彼得森定理 ：设 (G) 是 (2r) - 正则图，则 (G) 中存在 2 - 因子。通过不断移除 2 - 因子，可知偶数正则图具有 2 - 因子分解。
- 奇数正则图反魔法性定理 ：设 (r ≥ 1)，(G) 是具有 (2n) 个顶点 ({u_1, u_2, \cdots, u_n, v_1, v_2, \cdots, v_n}) 的 ((2r + 1)) - 正则图，(M = {u_iv_i| 1 ≤ i ≤ n}) 是 (G) 的完美匹配，且 ({u_1, u_2