9、量子计算中MUBs构造与隐藏子群问题的研究进展

量子计算中MUBs构造与隐藏子群问题的研究进展

1. 已知的MUBs构造

在量子计算领域，相互无偏基（MUBs）的构造是一个重要的研究方向。当$n$为奇素数幂$n = p^k$时，函数$f(x) = x^2$，其中$G = N$为$GF(n)$（即$Z_p^k$）的加法群，满足特定条件。证明过程如下：
假设$g_1 + g_2 = g_3 + g_4$且$g_1^2 + g_2^2 = g_3^2 + g_4^2$，则$g_1 - g_3 = g_4 - g_2$，且$(g_1 - g_3)(g_1 + g_3) = (g_4 - g_2)(g_4 + g_2)$。若$g_1 = g_3$，结论成立；否则，可从最后一个等式中消去$g_1 - g_3$，得到$g_1 + g_3 = g_4 + g_2$，结合第一个等式可得$2(g_2 - g_3) = 0$。由于$2$不能整除$n$，所以$g_2 = g_3$，结论得证。

当$n$为偶数时，构造会更复杂一些。对于有限域$GF(2^k)$，其常见构造是次数小于$k$且系数来自${0, 1}$的多项式，所有运算模$2$和一个次数为$k$的不可约多项式$h$进行。此时函数$f(x) = \frac{x^2}{2} \bmod (2, h)$，满足特定条件。证明过程如下：
假设$g_1 + g_2 \equiv g_3 + g_4 (\bmod 2, h)$，则$(g_1 + g_2)^2 \equiv (g_3 + g_4)^2 (\bmod 2, h)$，进而$g_1^2 + g_2^2 - g_3^2 - g_4^2 \equiv 0 (\bmod 2, h)$。这意味着$f(g_1) + f(g_2) - f(g_3) - f(g