求解特定方程组的算法-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/stdforces/article/details/127740505

本文介绍了一种求解形如x+y=a及lcm(x,y)=b的方程组的方法，通过分析gcd(x,y)的性质，推导出x与y的具体解，并提供了一个实现该算法的代码示例。

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题意：

给定 $a, b$ ，找出 $x, y$ ，使得
$x+y=a\\ lcm(x,y)=b$

Solution：

似乎有 $l c m$ ，要么跟唯一分解有关系，要么跟 $g c d$ 有关系，唯一分解可以枚举分配因子的幂，但是有 $120000$ 组样例，时间复杂度不够。

对于 $g c d (x, y)$ ，设 $k_{1},k_{2}$ 满足
$gcd(x,y)\cdot k_{1}=x\\ gcd(x,y)\cdot k_{2}=y$
那么
$x+y=gcd(x,y)\cdot(k_{1}+k_{2})=a \tag{1}$

$xy=gcd(x,y)^2\cdot k_{1}k_{2} \tag{2}$

由 $(2)$
$lcm(x,y)=\frac{xy}{gcd(x,y)}=gcd(x,y)\cdot k_{1}k_{2}=b \tag{3}$
由 $(1) (3)$
$k_{1}+k_{2}=\frac{a}{gcd(x,y)}\\ \tag{4} k_{1}k_{2}=\frac{b}{gcd(x,y)}$
因为 $k 1, k 2$ 是除了 $g c d (x, y)$ 之外的因子，于是 $k 1, k 2$ 一定没有重复因子，于是 $gcd(k_{1},k_{2})=1$

存在一个结论

若 $x, y$ 互质，那么 $x + y$ 与 $x y$ 互质，证明如下

由辗转相除 $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
$g c d (x, y) = g c d (x + y, x) = 1$
即 $x + y, x$ 互质，同理对 $g c d (y, x)$ 操作，可以得到 $x + y, y$ 互质

那么 $x+y)^2,xy$ 一定互质，因为每个因子都不会重复，又 $x + y$ 已经包含了 $x+y)^2$ 的所有素因子了，于是得到 $x + y, x y$ 互质

利用这个结论，我们可以得到
$gcd(\frac{a}{gcd(x,y)},\frac{b}{gcd(x,y)})=1$
于是
$g c d (a, b) = g c d (x, y)$
这样就可以得到 $g c d (x, y)$ 的值，代入方程组 $(4)$ 得到一个二元一次方程，就可以解出 $k_{1},k_{2}$ ，从而得到 $x, y$ ，注意解出来的 $k_{1},k_{2}$ 要是正整数

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e5+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=998244353;

pair<ll,ll> solve(ll a,ll b)
{
    //解方程组xy=a,x+y=b
    pair<ll,ll>ret={-1,-1};
    if(b*b<4*a) return ret;
    double y=(b+sqrt(b*b-4*a))/2;
    if(fabs(y-floor(y))>1e-8) return ret;
    return make_pair(b-y,y);
}

ll a,b;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin>>a>>b)
    {
        ll gcd=__gcd(a,b);
        auto tmp=solve(b/gcd,a/gcd);
        if(tmp.first==-1) printf("No Solution\n");
        else printf("%lld %lld\n",tmp.first*gcd,tmp.second*gcd);
    }
    return 0;
}