2022蓝桥省赛 E 一种好理解的递推方法

题意：

有一只甲壳虫爬树，树高$n$，一开始位于高度为0的地方，每次要爬到$i$高度的地方有$p_i$的概率掉回树根，求爬到$n$的期望时间

Solution：

设$f_i$为当前在高度为$i$的地方，去到$n$的期望时间是多少

每次爬树有两个事件，成功或不成功，期望即

$$f_i=p_{i+1}{f}_0+(1-p_{i+1})f_{i+1}+1$$

这也就是转移方程，但很难递推，由于要求的是$f_0$，不妨设$x=f_0$，由于$f_n=0$，那么$f_i$一定能写成$a_{i}x+b_i$的形式，譬如

$$f_{n-1}=p_n(1x+0)+(1-p_n)(0x+0)+1=p_{n}x+1$$

接着就得到$f_{n-2}=a_{n-2}x+b_{n-2}$，一直到$f_0=a_{0}x+b_0=a_0{f}_0+b_0$，于是此时有

$$f_0=\frac{b_0}{1-a_0}$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=200005,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;

ll qpow(ll a,ll b)
{
	ll ret=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

ll inv(ll x){return qpow(x,mod-2);}

int n;
ll p[N],a[N],b[N];

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll x,y; cin>>x>>y;
		p[i]=x*inv(y)%mod;
	}
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
	{
		a[i]=(p[i+1]+(1-p[i+1]+mod)*a[i+1]%mod)%mod;
		b[i]=((1-p[i+1]+mod)*b[i+1]+1)%mod;
	}
	cout<<b[0]*inv(1-a[0]+mod)%mod;
	return 0;
}