Codeforces 348B 思维

原创已于 2022-09-13 22:05:48 修改 · 125 阅读

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#图论 #算法

于 2022-09-13 22:04:39 首次发布

本文探讨了如何在以111为根的树中，通过合理删除苹果使子树权值均衡，利用递归和最大公约数原理找到平衡条件，揭示了从叶子节点向上分配权值的关键。解决过程涉及动态规划和最小公倍数计算。

题意：

给出一颗以 $1$ 为根的树，在叶子节点上长有苹果，定义子树的权值为该子树苹果数量之和，一颗平衡的树为对于树上每个点，他的每棵子树权值相同。求至少去掉多少苹果，可以使子树平衡。

方法：

如果从小子树到大子树，来平衡子树的贡献的话，是难以平衡的，譬如现在有权值为 $3, 4, 5$ 的子树，要平衡他们，一个想法就是取最小值，但是对于第二颗子树，只删去一个苹果的话，如果删除的地方有兄弟节点，那么就不平衡了，难以操作。

正解思路是设 $x$ 为最后平衡下来整棵树最大的权值和，那么因为子树权值一样，每个点的权值都要平分给他的子树们，设 $t o t [i]$ 为 $i$ 结点的儿子数，那么根的儿子们的权值都应该是 $xtot[1]\frac{x}{tot[1]}$ ，按照这个思路下去，一直到叶子结点 $u$ ，一路平分给儿子们，必然是这样的形式 $xtot[a]∗tot[b]∗...∗tot[z]\frac{x}{tot[a]*tot[b]*...*tot[z]}$ ，其中 $a→za\rightarrow z$ 即他的所有祖先们，不妨设分母为 $K$ ，因为一定能平分下来，那么 $x$ 一定是 $K$ 的倍数

，且删除数量之后，一定有 $xK≤v[u]\frac{x}{K}\leq v[u]$ ，即 $x≤K∗v[u]x\leq K*v[u]$ ，删除之后一定小于等于原来的嘛。每个叶子都有这样的等式限制，那么全部的限制就是一定是所有叶子的 $K$ 的共同倍数，即 $lcm(K_{1},K_{2}....)$ 的倍数，又一定 $≤min(K∗v[1],K∗v[2]....)\leq min(K*v[1],K*v[2]....)$ ，这里的 $(1, 2, ...)$ 代表所有的叶子节点，那么就能求到 $x$ 的最大值，所以要删去的数目就是 $t o t - x$ 了， $t o t$ 是所有点的权值总和

at all，做题的时候只从树形dp的小规模到大规模的角度思考，却忽略了平分这一点关键，一直做不出来

tips: 如果计算到某个地方的 $K > t o t$ 了，那么就需要全删掉了，为了防止爆ll，直接输出 $t o t$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

struct way
{
    int to,next;
}edge[200005];
int head[100005],en;

void add(int u,int v)
{
    edge[++en].to=v;
    edge[en].next=head[u];
    head[u]=en;
}

int v[200005],n;
ll ans,top=0x3f3f3f3f3f3f3f,tot[100005],totlcm=1;

void dfs1(int u,int fa)
{
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(v==fa) continue;
        tot[u]++; dfs1(v,u);
    }
}

ll __lcm(ll a,ll b)
{
    return a/__gcd(a,b)*b;
}

void dfs(int u,int fa,ll k)
{
    if(k>ans)
    {
        printf("%lld\n",ans);
        exit(0);
    }
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u,k*tot[u]);
    }
    if(tot[u]==0)
    {
        totlcm=__lcm(totlcm,k);//保存到达叶子节点所有K的lcm
        top=min(top,k*v[u]);//记录上界的最小值
    }
}   

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&v[i]);
        ans+=v[i];
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v); add(v,u);
    }
    dfs1(1,0); dfs(1,0,1ll); 
    cout<<ans-top/totlcm*totlcm;
    return 0;
}