Codeforces 1722G 结论：异或性质

原创已于 2022-08-31 21:20:58 修改 · 281 阅读

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#算法 #c++ #数据结构

于 2022-08-31 21:20:32 首次发布

该博客介绍了如何根据数学性质x⨁(x−1)=1来构造一个无重复元素的数组，使得奇数位次和偶数位次的元素异或和相等。通过分析余数情况，分别处理n%4=1、2、3的情况，给出具体的构造方法。以n=6为例，展示了不同余数下的数组构造实例。文章适合对算法和数组构造感兴趣的读者。

题意：

给定 $n$ ，构造一个无重复元素的数组，使得奇数位次的元素的异或和等于偶数位次的元素的异或和，并且元素 $≤231\leq 2^{31}$

方法：

有一个这样的性质：对于正奇数 $x$ ， $\bigoplus (x-1)=1$

那么每四个我们就可以构造这样的数组： $x, x + 2, x + 1, x + 3$ ，并且使 $x$ 为偶数，这样就可以使这个子数组的奇偶位次异或和为1，那么只需要重复构造这样的四元组。

但未必 $n%4==0n\%4==0$ ，考虑余数 $r$

当 $r == 1$ ，我们只需要再异或上0即可，也就是最开始的 $x$ 需要稍微大一些

当 $r == 2$ ，前面每个四元组奇偶位次异或和一定是1，那么前面所有的四元组的组合奇偶位次异或和就是1或0，我们要满足这样的条件只能补上两个0，这样存在了重复元素，不符。

当 $r == 3$ ，我们只需要补上这样的三元组： $32\ 1\ 3$ 即可

由于 $r == 2$ 不便构造余数数组，题目给了一些构造，发现6的情况刚好是4+2，也就是当 $r == 2$ 时，我们少构造一个四元组，最后把样例 $n = 6$ 的补上即可。

样例 $n = 6$ 时，一个可能的数组为 $84\ 1\ 2\ 12\ 3\ 8$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int n;

void work()
{
	scanf("%d",&n);
	vector<int>ans;
	int k=n%4;
	if(k==1)
	{
		n-=k;
		int now=6;
		while(n)
		{
			ans.push_back(now);
			ans.push_back(now+2);
			ans.push_back(now+1);
			ans.push_back(now+3);
			now+=4; n-=4;
		}
		ans.push_back(0);
	}
	else if(k==2)
	{
		n-=k; n-=4;
		int now=30;
		while(n)
		{
			ans.push_back(now);
			ans.push_back(now+2);
			ans.push_back(now+1);
			ans.push_back(now+3);
			now+=4; n-=4;
		}
		//4 1 2 12 3 8
		ans.push_back(4);
		ans.push_back(1);
		ans.push_back(2);
		ans.push_back(12);
		ans.push_back(3);
		ans.push_back(8);
	}
	else if(k==3)
	{
		n-=k;
		int now=6;
		while(n)
		{
			ans.push_back(now);
			ans.push_back(now+2);
			ans.push_back(now+1);
			ans.push_back(now+3);
			now+=4; n-=4;
		}
		ans.push_back(2);
		ans.push_back(1);
		ans.push_back(3);
	}
	else
	{
		int now=6;
		while(n)
		{
			ans.push_back(now);
			ans.push_back(now+2);
			ans.push_back(now+1);
			ans.push_back(now+3);
			now+=4; n-=4;
		}
	}
	for(int i=0;i<ans.size();i++) printf("%d ",ans[i]); cout<<endl;
}

int main()
{
	// freopen("in.txt","r",stdin);
	int t; cin>>t;
	while(t--) work();
	return 0;
}