洛谷P1501 lct，懒标记

原创已于 2022-09-02 10:34:12 修改 · 164 阅读

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#算法 #数据结构

于 2022-09-02 10:33:45 首次发布

这篇博客介绍了如何使用LCT（Link-Cut Tree）数据结构结合懒惰标记处理权值修改问题。在处理树的边的增删和权值修改操作时，利用线段树的懒惰标记策略来优化效率。博客详细阐述了LCT的基本操作，如旋转、反转、下推、获取路径和、建立根节点等，并展示了如何在LCT中实现懒惰标记。最后，给出了处理权值修改和查询的具体实现代码，强调了合法操作的判断和常数优化的重要性。

题意：

给出一个 $n$ 个结点的树，初始权值为1，处理 $q$ 个操作，操作只会是以下四种之一

（1） $k+\ x\ y\ k$ 在 $x$ 到 $y$ 的路径上的每个点的权值 $+ k$

（2） $k*\ x\ y\ k$ 在 $x$ 到 $y$ 的路径上的每个点的权值 $* k$

（3） $x_{1}\ y_{1}\ x_{2}\ y_{2}$ ，删去边 $x_{1},y_{1})$ ，加入边 $x_{2},y_{2})$

（4） $y/\ x\ y$ ，查询 $x$ 到 $y$ 路径上的点的权值和，模51061

方法：

删/连边显然是lct，但权值修改暴力修改超时了一发，需要用懒标记，线段树怎么用在lct就怎么用， $s u m$ 成员维护当前 $s pl a y$ 的总和，所以和线段树一样，需要维护元素个数，线段树可以 $r - l + 1$ 得到，这里需要多加一个 $s i ze$ 来维护，懒标记直接 $s pl i t (x, y)$ 后放在 $y$ 上即可

懒标记优先级高的先处理，注意 $p u s h d o w n$ 之后清空懒标记

对于询问，我们不需要再次下放懒标记了，因为 $s pl i t$ 的时候先取出了首尾为 $x$ 和 $y$ 的 $s pl a y$ ，然后再一次 $s pl a y (y)$ ， $s pl a y$ 前会下放懒标记，所以 $s pl i t$ 完直接查询 $t ree [y] . s u m$ 即可。

另外，对于题目保证合法的 $l ink / c u t$ 操作，我们不要再在判断时调用 $f in d roo t$ 了，在这里常数过大会超时。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define int long long
using namespace std;

const int mod=51061;

struct LCT
{
	struct node
	{
		ll v,sum,multitag,addtag; 
		int tag,son[2],fa,size;
	};
	stack<int>s;
	vector<node>tree;
	LCT():tree(100005,{0,0,1,0,0,{0,0},0}){}
	bool isroot(int x)
	{
		return tree[tree[x].fa].son[0]!=x&&tree[tree[x].fa].son[1]!=x;
	}
	int getson(int x,int y)
	{
		return x==tree[y].son[1];
	}
	void push_up(int x)
	{
		tree[x].size=1;
		tree[x].sum=tree[x].v;
		for(int i=0;i<=1;i++)
		{
			tree[x].sum=(tree[x].sum+tree[tree[x].son[i]].sum)%mod;
			tree[x].size+=tree[tree[x].son[i]].size;
		}
	}
	void rotate(int x)
	{
		int y=tree[x].fa,z=tree[y].fa;
		int k1=getson(x,y),k2=getson(y,z);
		tree[x].fa=z;
		if(!isroot(y)) tree[z].son[k2]=x;
		tree[y].son[k1]=tree[x].son[!k1];
		if(tree[x].son[!k1]) tree[tree[x].son[!k1]].fa=y;
		tree[x].son[!k1]=y;
		tree[y].fa=x;
		push_up(y); push_up(x);
	}
	void reverse(int x)
	{
		swap(tree[x].son[0],tree[x].son[1]);
		tree[x].tag^=1;
	}
	void get_tag(int x,int addtag,int multitag)
	{
		tree[x].sum=(tree[x].sum*multitag+addtag*tree[x].size)%mod;
		tree[x].v=(tree[x].v*multitag+addtag)%mod;
		tree[x].multitag=(tree[x].multitag*multitag)%mod;
		tree[x].addtag=(tree[x].addtag*multitag+addtag)%mod;
	}
	void push_down(int x)
	{
		if(tree[x].tag)
		{
			for(int i=0;i<=1;i++)
				if(tree[x].son[i]) reverse(tree[x].son[i]);
			tree[x].tag=0;
		}
		for(int i=0;i<=1;i++)
			if(tree[x].son[i]) get_tag(tree[x].son[i],tree[x].addtag,tree[x].multitag);
		tree[x].addtag=0;
		tree[x].multitag=1;
		push_up(x);
	}
	void splay(int x)
	{
		int now=x;
		s.push(now);
		while(!isroot(now))
		{
			s.push(tree[now].fa);
			now=tree[now].fa;
		}
		while(!s.empty())
		{
			push_down(s.top());
			s.pop();
		}
		while(!isroot(x))
		{
			int y=tree[x].fa,z=tree[y].fa;
			int k1=getson(x,y),k2=getson(y,z);
			if(!isroot(y))
			{
				if(k1==k2) rotate(y);
				else rotate(x);
			}
			rotate(x);
		}
	}
	void access(int x)//打通root->x的splay
	{
		int last=0;
		while(x)
		{
			splay(x);
			tree[x].son[1]=last;
			push_up(last=x);
			x=tree[x].fa;
		}
	}
	void makeroot(int x)
	{
		access(x);
		splay(x);
		reverse(x);
	}
	int findroot(int x)
	{
		access(x);
		splay(x);
		while(tree[x].son[0])
		{
			push_down(x);
			x=tree[x].son[0];
		}
		splay(x);
		return x;
	}
	void split(int x,int y)
	{
		makeroot(x);
		access(y);
		splay(y);
	}
	void link(int x,int y)
	{
		makeroot(x);
		// if(x==findroot(y)) return;
		tree[x].fa=y;
	}
	void cut(int x,int y)
	{
		makeroot(x);
		if(findroot(y)!=x||tree[y].fa!=x||tree[y].son[0]) return;
		tree[y].fa=tree[x].son[0]=0;
	}
}lct;

signed main()
{
	// freopen("in.txt","r",stdin);
	int n,q; cin>>n>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++) lct.tree[i].v=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y; scanf("%lld%lld",&x,&y);
		lct.link(x,y);
	}
	while(q--)
	{
		char s[20]; scanf("%s",s+1);
		if(s[1]=='+')
		{
			int x,y,k; scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
			lct.split(x,y);
			lct.get_tag(y,k,1);
		}
		else if(s[1]=='*')
		{
			int x,y,k; scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
			lct.split(x,y);
			lct.get_tag(y,0,k);
		}
		else if(s[1]=='-')
		{
			int x,y; scanf("%lld%lld",&x,&y);
			lct.cut(x,y);
			scanf("%lld%lld",&x,&y);
			lct.link(x,y);
		}
		else
		{
			int x,y; scanf("%lld%lld",&x,&y);
			lct.split(x,y);
			printf("%lld\n",lct.tree[y].sum);
		}
	}
	return 0;
}