14、数值积分方法及MATLAB实现

数值积分方法及MATLAB实现

1. 引言

数值积分是计算函数积分值的重要技术。在开始具体方法之前，我们先了解一些基本概念。如果有两个点，可以拟合一条直线；有三个点，能拟合一个二次曲线；有四个点，则可拟合一个三次曲线。

我们先将积分区间划分为小的子区间，通过切片来近似曲线下的面积，不过这种简单的方法不够健壮，下面将介绍更有效的方法。

2. 用直线进行积分（梯形法则）

2.1 积分目标与函数定义

我们的目标是计算积分 $I = \int_{a}^{b} f(x) dx$，假设能轻松计算出 $a$ 到 $b$ 之间所有 $x$ 的 $f(x)$ 值。这里使用 integrand.m 函数：

% integrand.m
% input a set of values (x)
% output function values f(x)
function [f] = integrand(x)
% Here we use f = sin(xˆ2) as a
% sample function.
f = sin(x.ˆ2);

2.2 梯形法则推导

使用 $N$ 个点进行积分，代码如下：

step = (b-a)/(N-1);
x = a:step:b;
f = integrand(x);

定义点为 $(x_j, f_j)$，$j$ 从 1 到 $N$。考虑相