13、矩阵运算与特征分析：MATLAB 实现与应用

矩阵运算与特征分析：MATLAB 实现与应用

1. 特征值与特征向量基础

特征值和特征向量在解决矩阵系统以及理解矩阵影响方面非常有用。考虑一个简单的变换：
[
\begin{cases}
x’ = 3x \
y’ = -2y
\end{cases}
]
用矩阵形式表示为：
[
\begin{pmatrix}
x’ \
y’
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 & 0 \
0 & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \
y
\end{pmatrix}
]
这个变换将 (x) 分量乘以 3，(y) 分量乘以 -2。例如，坐标 ((1, 1)) 会变换到 ((3, -2))。在这个变换下，哪些向量的方向保持不变呢？可以发现，(x) 轴和 (y) 轴上的向量满足这一条件。

在 (x) 轴上，一般点为 ((\lambda, 0))，变换后变为 ((3\lambda, 0) = 3(\lambda, 0))，即 (Ap = 3p)（其中 (p = (1, 0)^T)）；在 (y) 轴上，一般点为 ((0, \mu))，变换后变为 ((0, -2\mu) = -2(0, \mu))。这里的 3 和 -2 就是特征值，((1, 0)^T) 和 ((0, 1)^T) 就是特征向量。

2. 计算特征值与特征向量的实例

考虑矩阵 (A = \begin{pmatrix}