8、数值分析中的根查找方法：从基础到应用

数值分析中的根查找方法：从基础到应用

在数值分析领域，寻找函数的根是一个至关重要的问题，它在众多科学和工程领域都有广泛的应用。本文将深入探讨几种常见的根查找方法，包括牛顿 - 拉夫逊法、割线法、处理重根的方法以及高维函数的根查找方法，同时还会介绍 MATLAB 中用于查找根的相关函数和一些实际任务。

牛顿 - 拉夫逊法和割线法

牛顿 - 拉夫逊法和割线法是两种常用的根查找方法，它们有一定的关联且容易混淆。这两种方法的核心前提是函数在局部是线性的，可以通过线性外推（或内插）来获得所需值的下一次迭代。

牛顿 - 拉夫逊法的推导

我们可以使用泰勒级数来推导牛顿 - 拉夫逊法。假设当前猜测值为 $x$，它与真实值的误差为 $h$，那么 $x + h$ 就是所需的值。函数 $f(x)$ 在 $x + h$ 处的泰勒展开式为：
[f(x + h) = f(x) + hf’(x) + O(h^2)]
由于 $x + h$ 是实际的根，所以 $f(x + h) = 0$，忽略高阶项 $O(h^2)$ 后，我们可以得到：
[h \approx -\frac{f(x)}{f’(x)}]
从而得到迭代公式：
[x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f’(x_n)}, \quad n = 0, 1, 2, \cdots]

下面是一个简单的 MATLAB 代码示例，用于实现牛顿 - 拉夫逊法：

x = 1;
for j = 1:10
    x = x - func(x)/func_prime(x);
end